Bài giảng Toán số Khối 11 - Dãy số

Nội dung text: Bài giảng Toán số Khối 11 - Dãy số

1. BÀI 2: DÃY SỐ
2. HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác địnhn N* Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),
3. Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5, k . vào u(n) = 2n +1 ta được: n = 1: u(1) = 3 n = 2: u(2) = 5 n = 3: u(3) = 7 n = 4: u(4) = 9 n = 5: u(5) = 11 . n = k: u(k)= 2k + 1 Nhận xét: Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5, k, thì ta được các giá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số: 3, 5, 7, 9,11, , 2k+1,
4. I/ DÃY SỐ 1/ Định nghĩa: * Hàm số u(n) xác định n N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). * Kí hiệu dãy số là (un) Thay thứ tự n = 1, 2, 3, .ta được các số hạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2, u3,
5. Dạng khai triển của dãy số (un) là: u1, u2, ,un, Trong đó: u1 : số hạng thứ nhất u2 : số hạng thứ hai un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát của dãy số (un) * Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3, m} thì ta gọi dãy số là dãy số hữu hạn.
6. 2/ VÍ DỤ: a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai triển của nó: 1, 4, 9, 16, 25 b) Dãy số 1, 3, 5, 7, Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un : un=2n – 1
7. II/ CÁCH CHO DÃY SỐ: 1/ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát: Cho dãy số (un) với un = 3n +1 Dạng khai triển là: 4, 7, 10, 13,
8. 2/ Dãy số cho bằng công thức truy hồi: u1 = 2 Cho dãy số (n 2) uunn=+−1 3 Dạng khai triển là: 2, 5, 8, 11, 14
9. III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ 1 Biểu diễn hình học của dãy số như sau: n u5 u4 u3 u2 u1 un 0 1/5 ¼ 1/3 ½ 1
10. IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1/ Dãy số tăng- dãy số giảm: * Dãy số (un) gọi là tăng nếu  n N* : un un+1 (u1 > u2 > > un > un+1> ) 2 Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n là dãy giảm 1, 0, -3, -8,
11. * Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số: a) Dãy số (un) tăng n N* , un+1 – un > 0 b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương thì : un+1 Dãy số (un) tăng n N* , 1 un Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.
12. VÍ DỤ Xét tính đơn điệu của các dãy số sau : n a) Dãy số (un) với un = n – 2 n+1 Ta có un+1= n+1 – 2 n+1 n Xét: un+1 – un = (n+1 – 2 ) – (n – 2 ) = 1 – 2n+1 + 2n = 1- 2.2n + 2n = 1 – 2n.(2-1) = 1 – 2n < 0 Vậy (un) là dãy số giảm
13. n b) Dãy số (un) với un = n.a (a 1) * un+1 Ta thấy un > 0  N nên ta xét tỉ số un nn+1 un+1 (n+ 1) a ( n + 1) a . a ( n + 1) a =nn = = 1 un n a n a n n +1 ( Vì 1 và a 1) n Vậy dãy (un) tăng
14. * Chú ý : Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảm n Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3) là dãy số không tăng không giảm: -3, 9, - 27, 81
15. 2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1/ Định nghĩa : - Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu  M sao cho:  n N* , un M 1 Ví dụ: Dãy số (un) với un =+1 n Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2 1 vì 1  n N* n
16. - Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu  m sao cho:  n N* , un m Ví dụ: 2 Dãy số (un) với un=1 + n bị chặn dưới bởi số 1 - Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức  m, M sao cho:  n N* , m un M 1 Ví dụ: Dãy số (un) với un =+1 n bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2
17. Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un) với u = 21 n − bị chặn. n n Giải: * Ta có > 0 n N* - Mặt khác: 2n -1 < 2n 2nn− 1 2 Suy ra 0 < =2 tức 0 < < 2 nn Vậy dãy số (un) bị chặn
18. BÀI THU HOẠCH 2n Cho dãy số (u ) với u = , n N* n n n2 +1 a) Viết 5 số hạng đầu. b) Số 9 là số hạng thứ mấy? 41 c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.