Bài giảng Toán số Khối 11 - Tiết 29: Phương pháp quy nạp toán học

Nội dung text: Bài giảng Toán số Khối 11 - Tiết 29: Phương pháp quy nạp toán học

1. Daklak 19 April 2021
2. 1./ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Hoạt động mở đầu Xét hai mệnh đề chứa biến và với n N* Với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? Với mọi n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?
3. Phương pháp chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên như sau: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
4. Hoạt động 1: Tính: 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n – 1) =
5. Kết quả HĐ1: Quan sát , rút ra qui luật
6. Hoạt động 2: n Cho An = 13 – 1 Khi A1 , A2 , A3 , A4 có chia hết cho 6 không? Dự đoán An có chia hết cho 6 với mọi n N* không?
7. Kết quả HĐ 2: 1 A1 = 13 – 1 chia hết cho 6 2 A2 = 13 – 1 chia hết cho 6 3 A3 = 13 – 1 chia hết cho 6 4 A4 = 13 – 1 chia hết cho 6 n Dự đoán: An = 13 – 1 có chia hết cho 6 hay không?
8. Hoạt động 3: Viết các hằng đẳng thức sau a2 – b2 = a3 – b3 = a4 – b4 = . Dự đoán: an – bn = với n N* và n ≥ 2
9. Kết quả HĐ 3: a2 – b2 = (a – b)(a + b) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a4 – b4 = (a2 – b2)(a2 + b2) = (a – b)(a + b)(a2 + b2) = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3) Dự đoán: an – bn =
10. 2. VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số Nhóm1 nguyên dương n thì: Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi Nhóm 2 số nguyên dương n thì: chia hết cho 6 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số Nhóm 3 nguyên dương n ≥ 2 thì:
11. Lời giải ví dụ 1: Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 1,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là: Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
12. Thật vậy ,ta có: Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
13. Lời giải ví dụ 2: Đặt Bước 1: Khi n = 1 Vậy hệ thức (2) đúng Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có : Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
14. Thật vậy ,ta có: Vì: nên Vậy đẳng thức (2) đúng
15. Lời giải ví dụ 3: Khi n = 2 , vế trái bằng vế phải bằng Vậy đẳng thức (3) đúng khi n = 2 Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k ≥ 1.Tức là:
16. Ta phải chứng minh (3) cũng đúng với n = k + 1, tức là: Thật vậy ,ta có: Vậy đẳng thức (3) đúng
17. Củng cố: Quan sát Dự đoán:
18. Kiểm tra bài cũ Hãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp toán học ?
19. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học thực hiện như sau: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
20. Bài tập 1: Chứng minh rằng với n N* ta có đẳng thức:
21. Lời giải bài tập 1: Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 12 ,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
22. Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là: Thật vậy ,ta có: Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
23. Bài tập 2: Chứng minh rằng với n N* , ta có : chia hết cho 3
24. Lời giải bài tập 2: Đặt Bước 1: Khi n = 1 Vậy hệ thức (2) đúng Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có : Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
25. Thật vậy ,ta có: Vì: nên Vậy đẳng thức (2) đúng
26. Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức sau:
27. Lời giải bài tập 3: Bước 1: Khi n = 2, vế trái bằng 9,vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức (3) đúng Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là: Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
28. Thật vậy ,ta có: đúng với mọi k ≥ 2 Vậy đẳng thức (3) đúng với mọi n N*
29. Bài tập 4: Cho tổng: với n N* a. Tính S1, S2 , S3 b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
30. Lời giải bài tập 4: Phân tích: Dự đoán:
31. Củng cố và bài tập về nhà: Chứng minh rằng với mọi n N* ta có: a. 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n +1) b. c.