Bài giảng Toán số Lớp 11 - Chương V: Đạo hàm - Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 11 - Chương V: Đạo hàm - Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

1. Câu hỏi: Hãy dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại điểm x tùy ý sau: = 3; = 2. Dự đoán đạo hàm của hàm số = 100.
2. • Bước 1. Giả sử ∆ là số gia của đối số tại x0, tính: ∆ = 0 + ∆ − 0 . ∆ • Bước 2. Lập tỉ số . ∆ ∆ • Bước 3. Tìm lim . ∆ →0 ∆
3. • Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có: ∆ = 0 + ∆ − 0 3 3 2 2 3 = 0 + ∆ − 0 = 3 0 ∆ + 3 0 ∆ + ∆ . ∆ 3 2∆ +3 ∆ 2+ ∆ 3 • = 0 0 = 3 2 + 3 ∆ + ∆ 2 ∆ ∆ 0 0 ∆ 2 2 2 • lim = lim (3 0 + 3 0∆ + ∆ ) = 3 0 . ∆ →0 ∆ ∆ →0 ′ 2 Vậy 0 = 3 0 .
4. CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM BÀI 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
5. I – ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ĐỊNH LÍ 1: Hàm số = 푛 푛 ∈ ℕ, 푛 > 1 có đạo hàm tại mọi ∈ ℝ và 푛 ′ = 푛 푛−1.
6. Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số: = 5 ; = x6. Giải: Áp dụng định lí 1, ta có: ′ = ( 5)′ = 5 4; ′ = ( 6)′ = 6 5.
7. NHẬN XÉT: a) Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)’ = 0. b) Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)’ = 1. Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau: a) y = 5 ; b) y = -2. Giải: a) y’ = (5)’ = 0; b) y’ = (-2)’= 0.
8. Đạo hàm của hàm số = như sau: • Giả sử Δx là số gia của x dương sao cho x + Δ x> 0 Ta có: ∆ = ( 0 + ∆ ) = + ∆ − ; ∆ +∆ − ( +∆ − )( +∆ + ) • = = ∆ ∆ ∆ +∆ − 1 = = ; ∆ ( +∆ + ) +∆ + ∆ 1 1 • lim = lim = . ∆ →0 ∆ ∆ →0 +∆ + 2 1 Vậy ′ = . 2
9. ĐỊNH LÍ 2: Hàm số = có đạo hàm tại mọi x dương và 1 ′ = . 2
10. Câu hỏi 1: • Tính đạo hàm của hàm số y = , x > 0 Nhóm 1: tại x = 9. Nhóm 2: tại x = 4. • Tính đạo hàm của hàm số Nhóm 3: y = x4 ; Nhóm 4: y = 3. Giải: Nhóm 1;2 : 1 Áp dụng định lí ta có: y’= ( )’= ; 2 1 1 1 1 y’(9) = = ; y’(4) = = . 2 9 6 2 4 4 Nhóm 3: y’ = 4x3 Nhóm 4: y’ = 0
11. Các hàm số = 2 ± ; + 1 = ; 2 − 2 = + 1 .
12. II – ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG 1. Định lí: ĐỊNH LÍ 3: Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: + 푣 ′ = ′ + 푣′ (1) − 푣 ′ = ′ − 푣′ (2) 푣 ′ = ′푣 + 푣′ (3) ′ ′푣− 푣′ = 푣 = 푣( ) ≠ 0 . (4) 푣 푣2
13. Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = 2 + . Giải: Áp dụng định lí 3 ta có: y’ = ( 2 + )′ = ( 2)′ + ( )′ = 2 + 1.
14. Giả sử u1 = u1(x), u2 = u2(x), , 푛 = 푛( ) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: , ′ ′ ′ 1 ± 2 ± ⋯ ± 푛 = 1 ± 2 ± ⋯ ± 푛.
15. Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau: = 3 − + 1. Giải: ′ = 3 − + 1 ′ = 3 ′ − ′ + 1 ′ = 3 2 − 1 .
16. Câu hỏi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: Nhóm 1: a) = 3 + 2 − 1; Nhóm 2: b) = 3 − 2 + 1; Nhóm 3: c) = ; (k = const; u=u(x)). 1 Nhóm 4: ) = . (v = v(x) ≠ 0). 푣
17. Đáp án: • Nhóm 1: Áp dụng định lí ta có: ′ = ( 3+ 2 − 1)′ = 3 2 + 2 . • Nhóm 2: Áp dụng định lí ta có: ′ = ( 3− 2 + 1)′ = 3 2 − 2 . • Nhóm 3: Áp dụng định lí ta có: ′ = ′ = ′ + ′ = 0 + ′ = ′. • Nhóm 4: Áp dụng công thức ta có: 1 , 1 ′푣−1푣′ 0−1푣′ 푣′ ′ = = = = − . 푣 푣2 푣2 푣2
18. 2. Hệ quả HỆ QUẢ 1 Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’ HỆ QUẢ 2 1 ′ 푣′ = − 푣 = 푣 ≠ 0 . 푣 푣2
19. CỦNG CỐ BÀI HỌC 푛 ′ 푛−1 = 푛 (n∈ ℕ, 푛 > 1) 1 ′ = 2 + 푣 − 푤 ′ = ′ + 푣′ − 푤′ 푣 ′ = ′푣 + 푣′ ′ = ′ ( k = const) 1 ′ 푣′ = − 푣 = 푣 ≠ 0 푣 푣2 ′ ′푣− 푣′ = 푣 = 푣( ) ≠ 0 . 푣 푣2
20. Phiếu học tập Hãy chọn đáp án đúng Câu 1: Đạo hàm của hàm số = 3 2là: A. ′ = 3 B. ′ = 6 C. ′ = −3 D. ′ = −6 . Câu 2: Đạo hàm của hàm số = 2 + 3 − 5 là: A. y’ = 2x + 3 B. y’ = 2 + 3 C. y’ = 2 + 3 D. y’ = -2x + 3 2 Câu 3: Đạo hàm của hàm số = 3 − 1 tại x0 = 1 là: A. 2 B. 3 C. 5 D. 6. 2 Câu 4: Đạo hàm của hàm số = là: +1 2 2 4 −2 4 +2 A. ′ = − B. ′ = C. ′ = D. ′ = . +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số = 4 với ∀ > 0. 1 1 2 8 A. ′ = B. y′ = C. y′ = D. y′ = 8 2
21. • Đáp án phiếu học tập: CÂU 1 2 3 4 5 ĐÁP ÁN B A D B C
22. Một số ứng dụng của đạo hàm trong các môn khoa học khác Ứng dụng trong vật lý: Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến thiên. Trong tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp. Trong cuộn cảm thì điện áp là đạo hàm của dòng điện. Trong dao động điện từ thì cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích biến thiên theo thời gian. Ứng dụng trong hoá học: Vận tốc phản ứng tức thời tại một thời điểm bất kì. Ứng dụng trong sinh học: Sự tăng trưởng dân số theo thời gian. Ứng dụng của đạo hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có: Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, đến các bài toán trong khoa học xã hội. Ví dụ: Trong ngành cơ học lưu chất thì lưu lượng là đạo hàm của khối lượng lưu chất. Đạo hàm được ứng dụng trong các bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế. Đạo hàm là một phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán học cao cấp, tiền đề cho những môn học như giải tích hàm, giải tích phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng
23. Bài tập: Người ta thả một vật rơi tự do từ tòa nhà cao 60m. Khi vật rơi được 4 giây thì chạm vào ngọn cây bên dưới tòa nhà. Tính vận tốc thời điểm chạm ngọn cây của vật. Cho g = 10m/s Đáp án: 1 Trong chương trình vật lí lớp 10 ta đã biết : s(t) = 푡2. 2 Do đó, v(t) = s’(t) = gt. Từ đó suy ra: thời điểm vật chạm ngọn cây, với vận tốc: 푣 = 푣 4 = 10.4 = 40(m/s).