Báo cáo SKKN Rèn kỹ năng giải bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số trong môn Toán lớp 9

Nội dung text: Báo cáo SKKN Rèn kỹ năng giải bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số trong môn Toán lớp 9

1. ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐÔNG HƯNG TRƯỜNG THCS PHONG HUY LĨNH HỒ SƠ SÁNG KIẾN RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CÓ CHỨA THAM SỐ TRONG MÔN TOÁN LỚP 9 Tác giả: Lê Văn Quang Trình độ chuyên môn: Đại học Chức vụ: Tổ trưởng tổ KHTN Nơi công tác: Trường THCS Phong Huy Lĩnh Đông Hưng, năm 2024 PHỤ LỤC III
2. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ------------------------- ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN HIỆU QUẢ ÁP DỤNG, PHẠM VI ẢNH HƯỞNG SÁNG KIẾN Kính gửi: - UBND huyện Đông Hưng - Hội đồng đánh giá, công nhận hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến, đề tài nghiên cứu khoa học huyện. - Tôi ghi tên dưới đây: Họ và tên: Lê Văn Quang - tác giả sáng kiến Năm sinh: 1977 Nơi thường trú: Thôn Châu Giang, Đông Quan, Đông Hưng, Thái Bình Trình độ chuyên môn: Đại học Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ KHTN Nơi làm việc: Trường THCS Phong Huy Lĩnh Điện thoại: 0975117669 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100% Là tác giả đề nghị xét công nhận hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng sáng kiến: Tên sáng kiến: Rèn kỹ năng giải bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số trong môn Toán lớp 9 - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 18 tháng 12 năm 2023 đến ngày 17 tháng 5 năm 2024 - Đơn vị áp dụng sáng kiến: 1. Tên đơn vị: Trường THCS Phong Huy Lĩnh Địa chỉ: xã Đông Quan, huyện Đông Hưng, tỉnh Thái Bình Điện thoại: 02273852262 Hồ sơ yêu cầu đánh giá, công nhận hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến/đề tài nghiên cứu khoa học: 1. Đơn yêu cầu công nhận; 2. Báo cáo sáng kiến hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng; 3. Quyết định công nhận hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng sáng kiến/đề tài nghiên cứu khoa học (đối với sáng kiến đề nghị xem xét đánh giá, công nhận hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng toàn tỉnh); Quyết định công nhận sáng kiến, đề tài nghiên cứu khoa học cơ sở (đối với sáng kiến, đề tài 1
3. nghiên cứu khoa học đề nghị xem xét đánh giá, công nhận hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng cơ sở). Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong hồ sơ là trung thực, đánh giá đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Đông Quan, ngày 20 tháng 5 năm 2024 Tác giả Lê Văn Quang 2
4. BÁO CÁO SÁNG KIẾN Hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến I. Tên sáng kiến: Rèn kỹ năng giải bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số trong môn Toán lớp 9 II. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến: Trong chương trình môn toán 9, những kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rất rộng, phong phú và đa dạng. Học sinh gặp nhiều khó khăn trong giải bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số. Mà đây là một trong những mảng kiến thức trọng tâm, thường có trong các đề thi cuối học kỳ và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. III. Mô tả giải pháp kỹ thuật III.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến Những giải pháp hoặc các chuyên đề về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trước khi tạo ra sáng kiến đã có nhiều và mặc dù đã đưa ra được các dạng toán tổng quát và hệ thống hóa nhưng học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn, học sinh rất lúng túng khi giải các bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số. Học sinh thường mắc phải các lỗi như sau: 1) Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứ tham số với giá trị cho trước của tham số Giải pháp trước đây là: + Thay giá trị của tham số bài cho vào hệ phương trình; + Giải hệ phương trình nhận được bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số; + Kết luận. * Hạn chế: Khi giải xong hệ phương trình ở phần kết luận hay thiếu giá trị của tham số bài cho. Cần chỉ rõ trong kết luận: Với giá trị của tham số đã cho thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là , hoặc hệ phương trình vô nghiệm, hoặc hệ phương trình có vô số nghiệm. 2) Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; có vô số nghiệm; vô nghiệm. Giải pháp trước đây là: + Từ một phương trình của hệ phương trình, rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại được phương trình chỉ có một ẩn: f(m).x = g(m) (*) (hoặc f(m).y = g(m) (*) ) + Biện luận theo yêu cầu của bài: 3
5. - Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất f(m) 0 - Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có vô số f m 0 nghiệm g(m) 0 - Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm f m 0 g(m) 0 * Hạn chế: - HS sử dụng phép biến đổi tương đương hệ phương trình theo quy tắc thế nên khá cồng kềnh, một phương trình trong hệ phương trình được viết đi viết lại nhiều lần, học sinh dễ nhàm chán nên hay chép lại sai. - HS dập khuôn rất máy móc theo công thức kể cả trường hợp phương trình f(m).x = g(m) (*) (hoặc f(m).y = g(m) (*) ) có f(m) là một hằng số. 3) Các bài toán có liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn có chứa tham số. Tìm các giá trị của tham số để hệ phương trình: - Có nghiệm duy nhất; có vô số nghiệm; vô nghiệm. - Có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn: + M(x; y) nằm trong góc phần tư thứ nhất, hoặc góc phần tư thứ hai, hoặc góc phần tư thứ ba, hoặc góc phần tư thứ tư. + M(x; y) thuộc đường thẳng y = f(x) nào đó. + Giá trị của x và y thỏa mãn một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức nào đó. + Tìm các giá trị nguyên của tham số để hệ có nghiệm (x; y) sao cho x, y là các số nguyên. + Biểu thức F(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất hoặc đạt giá trị lớn nhất. * Hạn chế: - Các bài toán liên quan chưa thật phong phú, đa dạng. Ngay trong một dạng cũng chưa chia ra các dạng nhỏ với lời giải cho từng dạng nhỏ đó. 4
6. III.2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến III.2.1 Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số với một giá trị cho trước của tham số 1) Phương pháp giải: - Thay giá trị của tham số mà đề bài cho vào hệ phương trình rồi giải hệ phương trình thu được - Kết luận: Với giá trị đã cho của tham số thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = ( ; ...) (hoặc có vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm) 2) Ví dụ minh họa x my 1 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau với m là tham số: mx y 1 Giải hệ phương trình với m = 2. Lời giải: Giải pháp trước đây Giải pháp sáng tạo của đề tài Với m = 2, hệ phương trình trở thành: Thay m = 2 vào hệ phương trình: x 2y 1 x my 1 x 2y 1 2x y 1 ta được mx y 1 2x y 1 1 1 1 y y y 2x 4y 2 3y 1 3 3 3 2x y 1 2x y 1 1 2 1 2x 1 2x x 3 3 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy Vậy với m = 2, hệ phương trình có 1 1 1 1 nhất ; nghiệm duy nhất ; 3 3 3 3 Theo cách làm đã có trước đây, đối với HS có tư duy còn hạn chế việc sử dụng ngôn ngữ súc tích và làm tắt không có dẫn dắt làm HS khó hiểu, khó tiếp thu. Theo cách làm của tôi trong đề tài này là sử dụng ngôn ngữ gần gũi dễ hiểu và có tính dẫn dắt HS nên các em dễ hiểu và tiếp thu được kiến thức. Đặc biệt phần kết luận, HS dễ quên không nêu được giá trị của tham số mà đề bài đã cho nên tôi yêu cầu các em đọc kĩ bài trước khi kết luận để trả lời đúng câu hỏi/yêu cầu của bài. 5
7. III.2.2 Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất; có vô số nghiệm; vô nghiệm. III.2.2.1. Dạng các hệ số của ẩn ở hai phương trình của hệ phương trình đã cho có chứa tham số, trong đó có ít nhất một hệ số của một ẩn là hằng số. 1) Phương pháp giải: - Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho, rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại thu được phương trình một ẩn: f(m).x = g(m) (*) (hoặc f(m).y = g(m) (*) ) - Biện luận theo yêu cầu của bài: + Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình một ẩn thu được ở trên (phương trình (*)) có nghiệm duy nhất f(m) 0. + Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì phương trình (*) có vô số nghiệm f m 0 g(m) 0 + Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm f m 0 g(m) 0 Chú ý: - Cần nhắc lại và củng cố cho HS kiến thức có liên quan để HS dễ hiểu bài, dễ chiếm lĩnh được kiến thức hơn: Phương trình một ẩn f(m).x = g(m) ( hoặc f(m).y = g(m) ) + Có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi f(m) 0; f m 0 + Có vô số nghiệm khi và chỉ khi g(m) 0 f m 0 + Vô nghiệm khi và chỉ khi g(m) 0 - Ở dạng này có hai dạng nhỏ là: Phương trình một ẩn f(m).x = g(m) ( hoặc f(m).y = g(m) ) có f(m) 0 với mọi m và f(m) = 0 với giá trị nào đó của m. 6
8. 2) Ví dụ minh họa 2.1) Dạng 1: Phương trình một ẩn thu được có hệ số của ẩn chứa tham số có thể bằng hoặc khác 0. (m 1)x 3y m 1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình x (m 1)y 3 Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất Lời giải: Giải pháp trước đây Giải pháp sáng tạo của đề tài (m 1)x 3y m 1 (m 1)x 3y m 1 (1) (I) x (m 1)y 3 x (m 1)y 3 (2) x (m 1)y 3 Từ (2) x = (m - 1)y + 3, thế vào (m 1)[(m 1)y 3] 3y m 1 (1) ta được x (m 1)y 3 (m + 1)[(m - 1)y + 3] - 3y = m - 1 2 (m 1)(m 1)y 3m 3 3y m 1 (m - 1)y + 3m + 3 - 3y = m - 1 2 x (m 1)y 3 (m - 4)y = -2m - 4 (*) Ta có (I) (m2 1)y 3y m 1 3m 3 x (m 1)y 3 x (m 1)y 3 (m2 4)y 2m 4 (*) 2 (m 4)y 2m 4 (*) Để hệ có nghiệm duy nhất thì - Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất phương trình (*) ẩn y có nghiệm thì phương trình (*) có nghiện duy nhất duy nhất m2 – 4 0 m2 4 m 2. m2 - 4 ≠ 0 m2 ≠ 4 m ≠ ±2. Vậy với m 2, thì hệ phương trình có Vậy với m ≠ ± 2, thì hệ có nghiệm nghiệm duy nhất. duy nhất. Nhận xét: Cách làm trước đây ta thấy Nhận xét: Cách làm mới này lời giải phương trình x = (m – 1)y + 3 được viết lặp đi lặp lại đến 4 lần làm cho HS dễ bị được rút gọn nên giúp cho HS hạn nhầm lẫn. chế được lỗi nhầm lẫn. x my 1 (1) Ví dụ 3: Cho hệ phương trình sau với m là tham số: mx y 1 (2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Có vô số nghiệm; Vô nghiệm. Lời giải: 7
9. Giải pháp trước đây Giải pháp sáng tạo của đề tài x my 1 x 1 my x my 1 (1) mx y 1 m(1 my) y 1 mx y 1 (2) x 1 my x 1 my Từ phương trình (1) x = 1 – my 2 2 m m y y 1 (1 m )y 1 m(*) thế vào phương trình (2) ta được: - Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiện duy nhất m(1 – my) + y = 1 1 – m2 0 m2 1 m 1. (1 – m2)y = 1 – m (*) Vậy với m 1, thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. - Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) ẩn y có nghiệm duy nhất 1 – m2 0 m2 1 m 1. Vậy với m 1, thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. - Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì phương trình (*) có vô số nghiệm 1 m2 0 m 1 m 1. 1 m 0 m 1 Vậy với m = 1, thì hệ phương trình có vô số nghiệm. - Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình (*) vô nghiệm 1 m2 0 m 1 m 1. 1 m 0 m 1 Vậy với m = -1, thì hệ phương trình vô nghiệm. 2.2) Dạng 2: Phương trình một ẩn thu được có hệ số của ẩn có chứa tham số và luôn khác 0 với mọi giá trị của tham số. mx - y = m Ví dụ 4: Cho hệ phương trình sau với m là tham số: x + my = 3 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. Lời giải: 8
10. Giải pháp trước đây Giải pháp sáng tạo của đề tài mx - y = m x 3 my mx - y = m (1) x + my = 3 m(3 my) y m x + my = 3 (2) x 3 my x 1 my Từ phương trình (2) x = 3 – my 2 2 3m m y y m (m 1)y 2m(*) - Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thế vào phương trình (1) ta được: thì phương trình (*) có nghiện duy nhất m(3 – my) – y = m 2 2 m + 1 0 m -1 luôn đúng với m 2 Vậy với mọi m, thì hệ phương trình có (m + 1)y = 2m nghiệm duy nhất. mx - y = m x 3 my 2m Có 2 Từ phương trình (*) suy ra y thay x + my = 3 (m 1)y 2m m2 1 vào x = 3 – my, ta được: x 3 my 2 2 2 2m 3(m 1) 2m m 3 x 3 m. 2m 2 2 2 2 y (Do m 1 0m) m 1 m 1 m 1 m2 1 Vậy với mọi m, hệ phương trình luôn có 2m m2 3 x 3 m. x nghiệm duy nhất m2 1 m2 1 2m 2m 2 y m 3 2m 2 y 2 x;y 2 ; 2 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất m2 3 2m x;y 2 ; 2 m 1 m 1 Nhận xét: Phương trình một ẩn thu được Nhận xét: Phương trình một ẩn thu khi dùng quy tắc thế có dạng f(m).x = g(m) được khi dùng quy tắc thế có dạng hoặc f(m).y = g(m), trong đó f(m) 0 với f(m).y = g(m), trong đó f(m) 0 với mọi m. Nhưng ở cách làm cũ không sử dụng mọi m nên ta tìm được luôn đến kiến thức trên để tìm được x hoặc y mà g(m) y , từ đó tìm được x tức là áp dụng công thức một cách dập khuôn f (m) máy móc: Để hệ phương trình có nghiệm tìm được nghiệm duy nhất của hệ duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm phương trình đã cho. duy nhất khi và chỉ khi f(m) khác 0 luôn đúng với mọi m. 9