Tài liệu ôn tập Toán 11 - Chương 5: Giới hạn. Dãy số liên tục - Bài 1: Giới hạn của dãy số

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Toán 11 - Chương 5: Giới hạn. Dãy số liên tục - Bài 1: Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn của dãy số MỤC LỤC ⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC .................................................................... 3 ▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ .................................................................................... 3 Ⓐ. Tóm tắt kiến thức .................................................................................................................... 3 Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản ........................................................................................................... 4 ⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa ........................................................ 4 ⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí ........................................................ 4 CC ⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của dãy số có dạng , , (C 0), ........................................... 5 C 0 ⬩Dạng ❹: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ....................................................................... 5 ⬩Dạng ❺: Ứng dụng thực tế ...................................................................................................... 5 Ⓒ. Dạng toán rèn luyện ............................................................................................................... 6 ⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn............................................................. 6 ⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai ........................................................................................ 6 ⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ................................................................................... 11 1
2. Giới hạn của dãy số 2
3. Giới hạn của dãy số ⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC ▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ❶. Giới hạn hữu hạn của dãy số Giới hạn 0 của dãy số Dãy số có giới hạn 0 khi dần tới dương vô cực, nếu nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu Ta còn viết là . Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây: , với nguyên dương bất kì. , với là số thực thỏa mãn Giới hạn hữu hạn của dãy số Dãy số có giới hạn hữu hạn là số a ( hay dần tới ) khi dần tiến tới dương vô cực, nếu Khi đó, ta viết Chú ý: Nếu ( là hằng số) thì . ❷. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số Cho là hằng số. Khi đó: Nếu ❸. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn có công bội thỏa mãn được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là 3
4. Giới hạn của dãy số ❹. Giới hạn vô cực Ta nói dãy số có giới hạn là nếu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu Ta nói dãy số có giới hạn là nếu , kí hiệu . Chú ý: Ta có các kết quả sau: a) khi và chỉ khi ; b) Nếu hoặc thì ; c) Nếu với mọi n thì . Nhận xét: Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản ⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa ☞Các ví dụ minh họa ( 1)n Câu 1: Chứng minh rằng lim 0 . n ( 1)n Câu 2: Chứng minh rằng lim 0 . n2 ⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các giới hạn sau: 2 21 a) lim 5 3 b) lim 4 5 n n n 3 Câu 2: Tính các giới hạn sau: 1 3 42n 34n 5 a) lim b) lim c) lim n 1 d) lim 6 2 n n 3 5 5 4 n 4
5. Giới hạn của dãy số Câu 3: Tính các giới hạn sau: n2 1 23n a) lim b) lim . n 22nn2 n 13 n ⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của dãy số có dạng ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các giới hạn sau: 1 2 CC 32n , , (C 0), a) lim n b) lim C 0 2n 4 45 Câu 2: Cho hai dãy số uv , với uv 3 , 8 . Tính: nn nnnn 1 32 2 un a) limuvnn ,lim ; b) lim un v n ,lim u n v n ,lim u n  v n ,lim vn ⬩Dạng ❹: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các tổng sau: n 2 2 2 3 3 1 a) M 2 2  n  b) N 33 2   5 5 5 4 4 4 Câu 2: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: n 1 1 1 1 223 2 2n a) 1 23   b) 2 21  n  5 5 5 5 3 3 3 ⬩Dạng ❺: Ứng dụng thực tế ☞Các ví dụ minh họa 210 Câu 1: Một mẫu chất phóng xạ 84 Po có khối lượng ban đầu m0 42( mg ) , nhưng cứ sau một khoảng thời gian T 138 ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi un là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau n chu kì bán rã.. a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un . b) Tính giới hạn của dãy số un và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó. 5
6. Giới hạn của dãy số Câu 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 100 m3 ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu? Câu 3: Từ độ cao 100 m , người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần 1 chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h 4 n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n . a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số hn . b) Tính giới hạn của dãy số hn và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số hn . c) Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n . Tính Sn , nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu? Ⓒ. Dạng toán rèn luyện ⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn 3 Câu 1: Giá trị của giới hạn lim là 4nn2 2 1 3 A. . B. . C. 0. D. 1. 4 3nn3 2 1 Câu 2: Giá trị của giới hạn lim là 4nn4 2 1 2 3 A. . B. 0. C. . D. . 7 4 1 2 vn Câu 3: Cho hai dãy số un và vn có un và vn . Khi đó lim có giá trị bằng: n 1 n 2 un A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. an 4 Câu 4: Cho dãy số với u trong đó a là tham số thực. Để dãy số có giới hạn bằng 2 , n 53n giá trị của a là: A. a 10. B. a 8. C. a 6. D. a 4. nn2 5 Câu 5: Tính giới hạn L lim . 21n2 6
7. Giới hạn của dãy số 3 1 A. L . B. L . C. L 2. D. L 1. 2 2 n32 n2 n Câu 6: Kết quả của giới hạn lim là: 3n 3 n 222 n 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 3 4 Câu 7: Giá trị của giới hạn lim3 n32 2 n n bằng: 1 2 A. . B. . C. 0. D. 1. 3 3 Câu 8: Giá trị của giới hạn limn22 2 n n 2 n là A. 1. B. 2. C. 4. D. . Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của a để limn2 a 2 n n 2 a 2 n 1 0. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 10: Giá trị của giới hạn lim 2n22 n 1 2 n 3 n 2 là 2 A. 0. B. . C. . D. 2 Câu 11: Giá trị của giới hạn limn22 2 n 1 2 n n là: A. 1. B. 1 2. C. D. Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa limn22 8 n n a 0 . A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. Câu 13: Giá trị của giới hạn limn2 2 n 3 n là A. 1. B. 0. C. 1. D. . 22 Câu 14: Cho dãy số un với un n an51 n , trong đó a là tham số thực. Tìm a để limun 1. A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Câu 15: Giá trị của giới hạn lim33nn33 1 2 bằng A. B. C. D. 7
8. Giới hạn của dãy số 92n2 n n Câu 16: Giá trị của giới hạn lim là: 32n A. 1. B. 0. C. 3. D. 1 Câu 17: Giá trị của giới hạn lim là 3 nn3 1 A. 2. B. C. D. 2n 1 3n 10 Câu 18: Kết quả của giới hạn lim là: 32nn2 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 Câu 19: Kết quả của giới hạn lim 2.3n n 2 là: . A. 0. B. 2. C. 3. D. . ⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai 21n Câu 1. Biết giới hạn lim a . Khi đó: 32n Các mệnh đề sau đúng hay sai? . Mệnh đề Đúng Sai a) Giá trị a lớn hơn 0. b) 51 Ba số ;;a tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2 33 c) Trên khoảng ; phương trình lượng giác sin xa có 3 nghiệm d) Cho cấp số nhân un với công bội q 3 và ua1 , thì u3 6 5nn3 2 1 Câu 2. Biết giới hạn lim a . Khi đó: nn 2 3 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Giá trị nhỏ hơn 0. 2 b) xa là trục đối xứng của parabol (P ) : y x 5 x 2 c) Phương trình lượng giác vô nghiệm d) Cho cấp số cộng với công sai d 3 và , thì u3 6 8
9. Giới hạn của dãy số 21n2 nn2 1 Câu 3. Biết giới hạn lim 3 a và lim b . Khi đó: 3nn 3 3 43nn42 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Giá trị nhỏ hơn 0. b) Giá trị b lớn hơn 0. c) Phương trình lượng giác cos xa có một nghiệm là x 2 d) 3 Cho cấp số cộng với công sai db và , thì u 3 2 n 3 43 Câu 4. Biết giới hạn lim 2n 5 n 9 a và lim n 1 b . Khi đó: 1  3 4 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Tích ab.3 b) Hàm số yx 1 có tập xác định là Da ;1 c) Giá trị b là số lớn hơn 0 d) Phươnga trình lượng giác cos xb vô nghiệm 31n3 (  1)nn 5 Câu 5. Biết giới hạn lim a và lim b . Khi đó: 25n 25nn 2 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) 2 1 u ua lim 3na n 1 n b) xb là hoành độ giao điểm của đường thẳng yx 2 với trục hoành n c) 1 lmi b 2024 d) 1 Cho cấp số cộng với công sai d và ub , thì u 2 2 1 3 Câu 6. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai 9
10. Giới hạn của dãy số n a) 2 lim 0 3 b) 1 lim ( 2)n c) 1 lim 0 n3 d) lim4 0 Câu 7. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) lim( 3)n b) lim n 0 c) lim nn32 2 4 d) lim n43 5 n 4 n Câu 8. Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được: a c 0,212121 ; 4,333 . Khi đó: b d Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) ab 40 b) Ba số ab; ;58 tạo thành một cấp số cộng c) cd 15 d) limc 13 1 1 1 Câu 9. Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: S 1  và 2 4 8 1 1 1 T 1  Khi đó: 3 32 3n Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) 1 1 1 1 1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q . 2 4 8 2 b) 1 1 1 1 1  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q . 3 32 3n 3 10
11. Giới hạn của dãy số c) ST d) 1 S T 7n 22 n 1 3 n 1 a a Câu 10. Cho u . Biết limu (với ab,; tối giản). Khi đó: n 75nn 11 n b b Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) ab 8 b) ab 7 c) Bộ ba số ab; ;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d 7 d) Bộ ba số ab; ;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q 7 ⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: 51 a) Tính tồng của cấp số nhân lùi vô hạn u với uq , . n 1 43 b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số. Câu 2: Tìm các giới hạn sau: 3n 1 32nn 1 a) lim b) lim . 22n 3n Câu 3: Tìm các giới hạn sau: 3 3 5 32 45 a) lim 2 b) lim ; c) lim 3 2 d) lim n 2 2 1 n nn nn 1 n3 Câu 4: Cho hai dãy số un và vn có limuvnn 3,lim 4 . Tìm các giới hạn sau: 2 2un a) lim 3un 4 ; b) lim uvnn 2 ; c) lim uvnn ; d) lim . vunn 2 23n Câu 5: Cho dãy số un thoả mãn limnun 3 . Tìm giới hạn lim 2 . nun Câu 6: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) 0,(7)  0,777 ; b) 1,(45)  1,454545 11
12. Giới hạn của dãy số 1 Câu 7: Cho dãy số un có tính chất un 2 . Tính lim un . 3n n 21n2 Câu 8: Tính lim . n 3nn2 Câu 9: Tính limn22 n n 1 . n Câu 10: Tính limnn2 3 . n 1 1 1 1 Câu 11: Tính tổng S ( 1)n 3 9 27 3n 1 a a2 an Câu 12: Cho un với ab, là các số thực thoả mãn |ab | 1,| | 1. Tính lim un . 1 b b2 bn n 1 3 5 (2n 1) Câu 13: Tính lim . n nn2 2 1 1 1 Câu 14: Tính tổng S 1 ( 1)n 5 521 5n Câu 15: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 1,(03); b) 3,(23) . cos n Câu 16: Cho dãy số un với un . Tính lim un . n2 n Câu 17: Cho tam giác ABC1 1 1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác ABC2 2 2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh BCCAAB1 1,, 1 1 1 1 . Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác ABCABC3 3 3 ,,,n n n Kí hiệu sn là diện tích của tam giác ABCn n n . a) Tính sn . b) Tính tổng s12 s sn 2 Câu 18: Cho dãy số u với u 2, u u , n 1. Đặt v u u . n 11nn 3n n n 1 n a) Tính v12 v vn theo n . b) Tính un theo n . c) Tính lim un . n n 1 Câu 19: Cho dãy số un có tính chất un . Tính lim un . nn 1 2 n Câu 20: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(12) = 2,121212... thành phân số. Câu 21: Tìm các giới hạn sau: n 3 3n 32nn 4n 1 a) lim b) lim ; c) lim ; d) lim . n nn nn 2 41 32 34 12
13. Giới hạn của dãy số Câu 22: Tìm các giới hạn sau: nn3 3 a) lim 1 3nn2 ; b) lim 21n c) lim n2 n n d) lim 3nn 1 5 . an Câu 23: Tuỳ theo giá trị của a 0 , tìm giới hạn lim . an 1 Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đường thẳng d:2 x y cắt trục hoành tại điểm A và 21n * cắt đường thẳng dn : y x tại điểm Pnn . Kí hiệu Sn là diện tích của tam giác OAPn n . Tìm lim Sn . Câu 25: Tính các giới hạn sau: a) limn2 2 n n 2 ; b) lim 2 nn24 1 ; n n c) limn2 n 2 n d) lim 3nn 42 1 . n n Câu 26: Tính các giới hạn sau: 65n 2nn2 6 2 nn3 51 a) lim ; b) lim c) lim 3n 8nn2 5 4 3nn2 4 2 41n 41nn2 45nn d) lim e) lim g) lim 92nn2 83n 3 4nn 4  5 Câu 27: Tìm các giới hạn sau: nn2 21 23nn2 a) lim b) lim c) limn2 2 n n 23 n2 n3 5 Câu 28: Tìm các giới hạn sau: n2 7 a) lim nn2 3 5 ; b) lim c) lim 3nn 2 . 12 n 13
14. Giới hạn của dãy số Câu 29: Kí hiệu Snn u12 u  u là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân un có công bội u 3 bằng q 1. Biết rằng lim n . Tìm giá trị của q . Sn 4  Câu 30: Cho tam giác OA12 A vuông tại A2, A 1 A 2 a và AOA12 30 . Hạ các đường vuông góc AA2 3 OAAA 1;;; 3 4  OAAA 2 4 5  OA 1  Tiếp tục quá trình này, ta nhận được đường gấp khúc AAAA1 2 3 4  Tính độ dài đường gấp khúc này theo a . Câu 31: Tìm các giới hạn sau: 23n 31n (2nn 1)(2 3) a) lim b) lim c) lim ; 61n nn2 24n2 41n 1 d) lim ; e) limn ( n 1 n ); g) lim . n2 3 n n n2 n n Câu 32: Cho tam giác OA12 A vuông cân tại A2 có cạnh huyền OA1 bằng a . Bên ngoài tam giác OA12 A , vẽ tam giác OA23 A vuông cân tại A3 . Tiếp theo, bên ngoài tam giác OA23 A , vẽ tam giác OA34 A vuông cân tại A4 . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc AAAA1 2 3 4 Câu 33: Cho tam giác OMN vuông cân tại O , OM ON 1. Trong tam giác OMN , vẽ hình vuông OA1 B 1 C 1 sao cho các đỉnh ABC1,, 1 1 lần lượt nằm trên các cạnh OM,, MN ON . Trong tam giác A11 MB , vẽ hình vuông AABC1 2 2 2 sao cho các đỉnh ABC2,, 2 2 lần lượt nằm trên các cạnh A11 M, MB , AB11. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này. 14
15. Giới hạn của dãy số 15