Bài giảng Đại số nâng cao Lớp 10 - Chuyên đề: Nguyên lý bất biến

Nội dung text: Bài giảng Đại số nâng cao Lớp 10 - Chuyên đề: Nguyên lý bất biến

1. Sở GD - ĐT tỉnh An Giang Trường THPT Chuyên Thủ Khoa Nghĩa Chuyên Đề Nguyên Lý Bất Biến Giáo viên hướng dẫn: Thành viên thực hiện
2. LỜI NÓI ĐẦU Bất biến xuất hiện hầu hết trong các dạng toán, nhưng bất biến không phải là một khái niệm gì cao siêu mà không hiểu được. Đôi khi bất biến chỉ là tính chẵn lẻ, sự chia hết cho 3, tức là những điều rất dễ hiểu và nhận thấy. Trong chuyên đề này chúng em xin gửi đến những ứng dụng của bất biến trong các bài toán về thuật toán của lý thuyết trò chơi.
3. A.Lý thuyết Định nghĩa Nói một cách đơn giản thì bất biến là đại lượng hay tính chất không thay đổi trong khi các trạng thái biến đổi. Người ta sử dụng tính bất biến để phân loại các vật trong một phạm trù nào đó. Hai vật thuộc cùng một loại nếu nó có cùng tính chất h nào đó và nếu vật a có tính chất h, vật b không có tính chất h thì b không cùng loại với a. Ta có thể hiểu là: Mọi đại lượng định tính hay tính chất và quan hệ giữa những phần tử của một hoặc một số tập hợp mà không thay đổi với một biến đổi nào đó được gọi là bất biến.
4. B. MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1. Trên một cái bảng, người ta viết 2018 dấu (+) và 2019 dấu (−). Giả sử mỗi lần, hai dấu bất kỳ bị xóa đi và viết thay bởi một dấu (+) nếu chúng giống nhau và thay bằng một dấu (−) nếu chúng khác nhau. Sau khi thực hiện 4036 lần như vậy, dấu nào sẽ còn lại trê n bảng. Giải. Cách 1. Sau mỗi lần xóa, số các dấu (−) được giữ nguyên hoặc giảm đi 2. Vì thế, tính chẵn lẻ của số dấu (−) trên bảng không thay đổi. Ban đầu, số dấu trừ là số lẻ nên cuối cùng dấu còn lại trên bảng là dấu (−).
5. Bài 1. Trên một cái bảng, người ta viết 2018 dấu (+) và 2019 dấu (−). Giả sử mỗi lần, hai dấu bất kỳ bị xóa đi và viết thay bởi một dấu (+) nếu chúng giống nhau và thay bằng một dấu (−) nếu chúng khác nhau. Sau khi thực hiện 4036 lần như vậy, dấu nào sẽ còn lại trên bảng. Giải. Cách 2. Thay mỗi dấu (+) bởi số 1, thay mỗi dấu (−) bởi số −1. Khi đó mỗi lần thực hiện cách làm theo đề bài có thể mô tả dưới dạng như sau: hai số bất kỳ được xóa đi và thay bằng tích của chúng. Như vậy tại mọi thời điểm thực hiện thì tích của các số trên bảng không thay đổi. Ban đầu tích các số trên bảng là −1 nên cuối cùng tích các số trên bảng cũng là −1. Vậy dấu còn lại trên bảng là dấu (−).
6. Bài 1. Trên một cái bảng, người ta viết 2018 dấu (+) và 2019 dấu (−). Giả sử mỗi lần, hai dấu bất kỳ bị xóa đi và viết thay bởi một dấu (+) nếu chúng giống nhau và thay bằng một dấu (−) nếu chúng khác nhau. Sau khi thực hiện 4036 lần như vậy, dấu nào sẽ còn lại trên bảng. Giải. Cách 3. Thay mỗi dấu (+) bởi số 0, thay mỗi dấu (−) bởi số 1. Khi đó, tổng hai số bị xóa đi cùng tính chẵn lẻ với số được viết thay chúng, như vậy tổng các số trên bảng không thay đổi tính chẵn lẻ. Vì tổng các số lúc đầu bằng 2019, là số lẻ nên số còn lại cuối cùng là số lẻ. Do đó dấu còn lại trên bảng là dấu (−).
7. Bài 2. :Trên bảng có bốn số 3, 4, 5, 6. Mỗi một lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số x, y có trên bảng và thay bằng x + y + x 22 + y và x+ y − x22 + y . Hỏi sau một số hữu hạn bước thực hiện, trên bảng có thể xuất hiện một số nhỏ hơn 1 được không ? Giải. Đặt a = x ++ y x 22 + y , b = xy + − xy 22 + .Ta có: 1 1 1 1 2(x++ y ) x y 1 1 + = + =2 2 2 = = + a bx+ y + x2 + y 2 x + y − x 2 + y 2 ()() x+ y − x + y xy x y Như vậy, qua các phép biến đổi, tổng nghịch đảo các số trên bảng không thay đổi. 1 1 1 1 19 + + + = 1 Vì3 4 5 6 20 nên qua các lần biến đổi, tổng nghịch đảo các số trên bảng vẫn nhỏ hơn 1. Do các số trên bảng qua các phép biến đổi đều dương nên từ đây suy ra không có số nào nhỏ hơn 1. Nhận xét. Bất biến ở bài toán này chính là tổng nghịch đảo của các số không đổi sau một số lần thực hiện.
8. Bài 3. Trên bàn có 100 viên kẹo. Hai người cùng thay phiên nhau bốc đi k viên kẹo, trong đó k thuộc {1, 2, 3}. Ai bốc được viên kẹo cuối cùng là người thắng. Hỏi ai là chiến thuật thắng? Giải Ta bắt đầu “quan sát” bài toán bằng 2 câu hỏi “khi nào thì người bốc sẽ chắc chắn thắng ?” và “khi nào thì người bốc sẽ chắc chắn thua ?” Trường hợp dễ nhận thấy nhất là người bốc sẽ chắc chắn thắng khi trên bàn còn 1,2 hoặc 3 viên kẹo, và sẽ chắc chắn thua nếu chỉ còn 4 viên kẹo. Tiếp tục quan sát, người bốc sẽ chắc chắn thắng nếu trên bàn còn 5, 6 hoặc 7 viên kẹo, vì khi đó người bốc sẽ có cách bốc để trên bàn chỉ còn 4 viên kẹo, dồn đối thủ vào thế thua. Tương tự như vậy, người bốc sẽ thua nếu trên bàn còn 8 viên kẹo, vì dù có bốc thế nào đi nữa thì vẫn đưa đến trường hợp “5, 6 hoặc 7 viên” cho người bốc tiếp theo. Nhận xét. Tính bất biến ở đây là: người chơi sẽ chiến thắng nếu có thể đưa số viên kẹo trên bàn về một số chia hết cho 4. Vì 100 chia hết cho 4 cho nên với mọi cách bốc của người đi , người đi sau sẽ có cách bốc tương ứng để đảm bảo số kẹo còn lại luôn chia hết cho 4. Do đó người đi sau là người có chiến thuật thắng
9. Bài 5.Có 7 số 0 và 1 số 1 được điền vào các đỉnh của khối lập phương. Mỗi bước cho phép cộng thêm 1 vào các số ở 1 cạnh nào đó của hình lập phương có thể thu được khối lập phương với tất cả các số bằng nhau không? Có thể thu được khối lập phương với tất cả các số chia hết cho 3 không? Giải Chúng ta đánh dấu 4 đỉnh của khối lập phương sao cho các đỉnh này không kề nhau. Xét hiệu giữa tổng các số được đánh dấu và các số không được đánh dâu thì tổng này không đổi. Sử dụng bất biến này chúng ta dễ dàng chứng minh được rằng câu trả lời trong cả 2 trường hợp là phủ định. Nhận xét. Bất biến ở bài toán này chính là hiệu giữa tổng số được đánh dấu và các số không được đánh dấu khi cộng thêm 1 vào các số ở 1 cạnh
10. C. BÀI TẬP THAM KHẢO Bài1 .Có 3 đống sỏi gồm những viên sỏi có số lượng tương ứng 19, 8, 9. Ta được phép chọn 2 đống sỏi và chuyển 1 viên sỏi của những đống sỏi đã chọn sang đống sỏi thứ 3. Sau 1 số lần làm như vậy thì có khả năng tạo ra mọi đống sỏi đều có 12 viên sỏi không? (Gợi ý: Không thể. Dùng mod 3 để giải) Bài2 . Ngoài biển đông, trên một hòn đảo sinh sống ba giống thằn lằn có ba loại màu:màu xám có 133 con, màu nâu có 155 con và màu đỏ có 177 con. Nếu hai con thằn lằn khác màu gặp nhau thì chúng đồng thời đổi sang màu thứ ba (ví dụ nếu thằn lằn màu xám gặp thằn lằn màu nâu thì cả hai con đều đổi sang màu đỏ). Trong những trường hợp hai con thằn lằn cùng màu gặp nhau thì chúng giữ nguyên không đổi màu. Có xảy ra tình trạng là trên đảo tất cả thằn lằn cùng một màu được không? (Gợi ý: Không thể. Dùng mod 3 để giải)
11. Bài3 . Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số bất kỳ và viết một số mới bằng tổng lập phương của hai số đã cho. Việc làm này thực hiện liên tục cho đến khi còn một số trên bảng. Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng có thể là 987654321 hay không? Tại sao? (Gợi ý: Không thể. Dùng mod 3 để giải) Bài4 . Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 sau đó thực hiện trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số bất kỳ và viết một số mới bằng tổng hai số đã xóa. Việc làm này thực hiện liên tục cho đến khi còn một số trên bảng. Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? (Gợi ý: Số cuối cùng là 4950. Sử dụng sự không thay đổi của tổng) Bài5 . Trên bảng, người ta viết 100 chữ số 1 và 10 chữ số 2 sau đó thực hiện trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số bất kỳ và viết một số mới bằng tích hai số đã xóa. Việc làm này thực hiện liên tục cho đến khi còn một số trên bảng. Hỏi số cuối cùng trên bảng còn lại là bao nhiêu? Tại sao? (Gợi ý: Số cuối cùng là 1024. Sử dụng sự không thay đổi của tích)
12. Bài 6. Cho số tự nhiên có 8 chữ số là 12456789. Từ số này người ta đổi vị trí các chữ số của nó, hỏi có thể tạo được số chính phương hay khô ng? (Gợi ý: Không thể. Sử dụng sự không thay đổi của tổng các chữ số khi chia cho 3 ,9) Bài7 . Những số 1,2,3, ,1974 được viết trên một bảng. Người ta thay hai số bất kỳ bằng một số hoặc là tổng hoặc là hiệu của hai số đó. Chứng minh rằng sau 1973 lần thực hiện thao tác trên, chỉ còn một số còn lại trên bảng không thể là số 0. (Gợi ý: Không thể là số 0. Sử dụng tính chẵn lẻ) Bài8 . Các số 1,2,3, ,20 được viết lên bảng. Mỗi phép biến đổi ta xoá2 số a, b và thêm vào số a+b-1. Số nào sẽ còn lại trên bảng sau 19 bước. (Gợi ý: Số còn lại sẽ là 191. Sử dụng sự không thay đổi của tổng) Bài 9. Hai người chơi cờ, mỗi ván người thắng được 2 điểm, người thua được 0 điểm, nếu trận hòa thì mỗi người được 1 điểm. Hỏi sau một số ván cờ có thể xảy ra trường hợp một người được 9 điểm và người kia được 10 điểm hay khô ng? (Gợi ý: Không thể vì tổng điểm của hai người trong mỗi ván luôn bằng 2)
13. D. Tài liệu tham khảo 1. Tolpygo, Bất biến, Kvant 2. N.Agakhanov, Olympic Toán toàn nước Nga, Nhà xuất bản MCCME, 2007 (tiếng Nga). 3. A.Schen, Trò chơi và chiến thuật dưới quan điểm toán học, Nhà xuất bản MCCME, 2007. 4. Kin Y.Li, Mathematical Games (I), Mathematical Excalibur, July- October 2002. 5. Báo Toán học tuổi trẻ, tạp chí Kvant. 6. 80 Bài toán thông minh, Hàn Ngọc Đức 7. Giải toán bằng phương pháp đại lượng bất biến, Nguyễn Hữu Điển