Bài giảng môn Toán số Lớp 9 - Tiết 58: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nội dung text: Bài giảng môn Toán số Lớp 9 - Tiết 58: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Giải phương trỡnh: x2 – 6 x + 5 = 0 Giải: Ta cú : a = 1 , b’= -3 , c = 5 ’= b’2 – ac = 9 – 5 = 4 > 0 Vậy pt cú hai nghiệm phõn biệt là: ; Giải bằng cỏch đưa về phương trỡnh tớch: Ta cú: x2 – 6 x + 5 = 0 x2 – x – 5x + 5 = 0 x( x – 1 ) – 5 ( x – 1 ) = 0 ( x – 1 ) ( x – 5 ) = 0 Phương trỡnh cú 2 nghiệm:
2. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Nếu phương trỡnh bậc hai ax2 + bx +c = 0 cú nghiệm thỡ dự đú là hai nghiệm phõn biệt hay nghiệm kộp ta đều cú thể viết cỏc nghiệm đú dưới dạng: ?1. Hãy tính: x1+x2 = (H/s1) x1. x2 = (H/s2)
3. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét x1+x2= - b a X1.x2= c a
4. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: Nếu x , x là hai nghiệm của phương 1 2 x +x = trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì 1 2 - b a x1.x2= c a
5. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì - b x1+x2= a c X1.x2= a F.Viốte Phrăng-xoa Vi-ột là nhà Toỏn học- một luật sư và là một nhà chớnh trị gia nổi tiếng người Phỏp (1540 - 1603). ễng đó phỏt hiện ra mối liờn hệ giữa cỏc nghiệm và cỏc hệ số của phương trỡnh bậc hai và ngày nay nú được phỏt biểu thành một định lớ mang tờn ụng .
6. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: Áp dụng: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì Biết rằng cỏc phương trỡnh sau cú - b nghiệm, khụng giải phương trỡnh, x1+x2= hóy tớnh tổng và tớch của chỳng: a c 2x2 - 9x + 2 = 0 X1.x2= a Giải x1+ x2 = x1.x2 =
7. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Hoạt Động nhóm *Định lí Vi- ét: Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 ) Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì Cho phương trình 2x2- 5x+3 = 0 . - b x1+x2= a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c. a c b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của X1.x2= a phương trình. c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2 Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3) Cho phương trình 3x2 +7x+4=0. a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phương trình v￿ tính a-b+c b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của phương trình. c) Tìm nghiệm x2.
8. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 ) *Định lí Vi- ét: 2x2- 5x+3 = 0 . Nếu x , x là hai nghiệm của phương 1 2 a)a = ,2 b = -5 , c = 3 ; a+b+c = 2+(-5)+3 = 0 trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì - b b) Thay x = 1 vào phương trình ta được: x1+x2= 1 a 2.12-5.1+3 = 0 Vậy x =1 là nghiệm của PT c 1 X1.x2= - b a c) Theo định lý Vi-ét x1+x2= ; có x1=1 5 5 3 a => 1+x = => x = -1.= 2 2 2 2 2 Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3) 3x2 +7x+4 = 0 . a) a = ,3 b = 7 , c = 4 ; a-b+c = 3-7+4 = 0 b)Thay x1 = -1 vào phương trình ta được: 2 3.(-1) -7.(-1)+4 . = 0 Vậyx 1=-1 là nghiệm của PT c c) Theo định lý Vi-ét x .x = ; có x = -1 1 2 a 1 4 4 -4 => (-1).x 2.= => x2= : (-1) . .= . 3 3 3
9. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 ) *Định lí Vi- ét: 2x2- 5x+3 = 0 . Tổng quát 1 : Nếu phương trình Nếu x , x là hai nghiệm của phương 1 2 a)aax =2 +bx+c= ,2 b = -5 , 0 (ac ≠= 30 ); cóa+b+c a+b+c=0 = 2+(-5)+3 thì = 0 trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì phươngtrình có môt nghiệm x =1, còn - b b) Thay x = 1 vào phương trình1 ta được: x1+x2= nghiệm 1kia là a x2= 2.12-5.1+3 = 0 Vậy x =1 là nghiệm của PT c 1 X1.x2= - b a c) Theo định lý Vi-ét x1+x2= ; có x1=1 5 5 3 a => 1+x = => x = -1.= 2 2 2 2 2 Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3) 2 Tổng quát 2: 3xNếu+7x+4 phương = trình0 . 2 a)ax a+bx+c=0 = ,3 b = 7(a ,≠0 c =) 4có ; a-b+c a-b+c = = 0 3-7+4thì phương = 0 trình có một nghiệm x1= -1, còn nghiệm b)Thaykia là x1 = -1 vào phương trình ta được: x2= 2 3.(-1) -7.(-1)+4 . = 0 Vậyx 1=-1 là nghiệm của PT c c) Theo định lý Vi-ét x .x = ; có x = -1 1 2 a 1 4 4 -4 => (-1).x 2.= => x2= : (-1) . .= . 3 3 3
10. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 ) *Định lí Vi- ét: 2x2- 5x+3 = 0 . Nếu x , x là hai nghiệm của phương 1 2 a)a = ,2 b = -5 , c = 3 ; a+b+c = 2+(-5)+3 = 0 trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì - b b) Thay x = 1 vào phương trình ta được: x1+x2= 1 a 2.12-5.1+3 = 0 Vậy x =1 là nghiệm của PT c 1 X1.x2= - b a c) Theo định lý Vi-ét x1+x2= ; có x1=1 Tổng quát 1 : Nếu2 phương trình 5 5 3a *Tổng2 quát: PT ax +bx+c = 0 ( ) => 1+x = => x = -1.= ax +bx+c= 0 (a≠ 0 ) có a+b+c=0 thì 2 2 2 2 2 -Nếuphương a+b+ctrình có= 0môt thỡ nghiệmPT cú 2x 1nghiệm:=1, còn Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3) nghiệm kia là x = 3x2 +7x+4 = 0 . x1= 1, x2 = 2 -NếuTổng a-b+c quát 2=: 0Nếu thỡ phươngPT cú 2trình nghiệm: a) a = ,3 b = 7 , c = 4 ; a-b+c = 3-7+4 = 0 ax2+bx+c=0 (a≠0 ) có a-b+c = 0 thì phương x1= -1, x2 = b)Thay x1 = -1 vào phương trình ta được: trình có một nghiệm x1= -1, còn nghiệm 2 kia là 3.(-1) -7.(-1)+4 . = 0 Vậyx 1=-1 là nghiệm của PT x2= c c) Theo định lý Vi-ét x .x = ; có x = -1 1 2 a 1 4 4 -4 => (-1).x 2.= => x2= : (-1) . .= . 3 3 3
11. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: ?4: Tính nhẩm nghiệm của phương trình Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì a/ - 5x2+3x +2 =0; - b 2 x1+x2= b/ 2004x + 2005x+1=0 a c Lời giải X1.x2= a a/ -5x2 +3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2 *Tổng quát: PT ax2+bx+c = 0 ( ) =>a+b+c= -5+3+2= 0. -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: Vậy x =1, 1 x = 1, x = 1 2 b/ 2004x2+2005x +1=0 -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: có a=2004 ,b=2005 ,c=1 x1= -1, x2 = =>a-b+c=2004-2005+1=0 1 Vậy x1= -1, x2= - 2004
12. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: Hệ thức Vi-ột cho ta biết cỏch Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì tớnh tổng và tớch của hai nghiệm - b phương trỡnh bậc hai x1+x2= a Ngược lại nếu biết tổng của c hai số bằng S và tớch của chỳng X1.x2= a bằng P thỡ hai số đú là nghiệm *Tổng quát: PT ax2+bx+c = 0 ( ) của phương trỡnh nào? -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: x1= 1, x2 = -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: x1= -1, x2 = 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng:
13. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: *Bài toỏn: Tỡm hai số biết tổng của Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương chỳng bằng S, tớch của chỳng bằng P. trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì - b Giải: x1+x2= Gọi một số là x thì số kia làS -x . a Theo giả thiết ta có phương trình: X x = c 1. 2 x(S – x) = P x2 - Sx + P= 0 (1) 2 a *Tổng quát: PT ax +bx+c = 0 ( ) Nếu Δ= S2- 4P ≥0, -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: thì phương trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này chính là hai số cần tìm. x1= 1, x2 = -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: x1= -1, x2 = 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng: *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0
14. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét áp dụng *Định lí Vi- ét: Nếu x , x là hai nghiệm của phương 1 2 Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì - b bằng 27, tích của chúng bằng 180. x1+x2= Giải : a Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình. c 2_ X1.x2= x 27x +180 = 0 a 2 *Tổng quát: PT ax2+bx+c = 0 ( ) =>Δ = 27 - 4.1.180 = 729-720 = 9 >0 -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: = = 3 x1= 1, x2 = -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: Vậy hai số cần tìm là 15 và 12 x1= -1, x2 = 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng: *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0
15. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét áp dụng *Định lí Vi- ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương ?5. Tìm hai số biết tổng của chúng trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì bằng 1, tích của chúng bằng 5. - b Giải x1+x2= a Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình c : x2- x + 5 = 0 X1.x2= Δ= (-1)2 – 4.1.5 = -19 0 *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6, bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của 2 phương trình x – Sx + P = 0 nên x1= 2, x2= 3 là hai nghiệm của Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0 phương trình đã cho.
16. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Luyện tập *Định lí Vi- ét: Bài tập 25: Đối với mỗi phương trình sau, kí Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). - b Không giải phương trình, hãy điền vào x1+x2= a những chỗ trống ( ). c a/ 2x2- 17x+1= 0, Δ = 281 X1.x2= 2 a *Tổng quát: PT ax +bx+c = 0 ( ) x1+x2= x1.x2= -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: x = 1, x = 1 2 c/ 8x2- x+1=0, Δ = -31 -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: x1+x2= Khụng cú x1.x2= Khụng cú x1= -1, x2 = 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng: *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0
17. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Bài 26/ SGK.Dùng điều kiện *Định lí Vi- ét: a+b+c = 0 hoặc a-b+c =0 để tớnh nhẩm Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương nghiệm của mỗi phương trỡnh sau: trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì - b a/ 35x2 -37x+2= 0 (1) x1+x2= a c/ x2-49 x-50= 0 (2) c X1.x2= Nửa lớp làm câu a . a *Tổng quát: PT ax2+bx+c = 0 ( ) Nửa lớp làm câu b. -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: Giải 2 x1= 1, x2 = a/ 35x -37x+2= 0 -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: cú a+b+c = 35-37+2 =0. Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm: x1= -1, x2 = x1= 1, x = 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng: 2 *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích c/ x2-49 x-50= 0 bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của cú a-b+c = 1-(-49)-50 =0. 2 phương trình x – Sx + P = 0 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm: 2 Điều kiện để có hai số đó là S -4P ≥0 x1= -1, x2= 50
18. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét *Định lí Vi- ét: Bài tập: 28 (a) /SGK. Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì Tỡm hai tỡm hai số u và v biết: - b x1+x2= u + v=32, u.v = 231. a c Giải X1.x2= a *Tổng quát: PT ax2+bx+c = 0 ( ) Hai số cần tỡm là nghiệm của phương trỡnh: x2 – 32x + 231 = 0 -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: ’ = 256 – 231 = 25 > 0 x1= 1, x2 = = 5 -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: x1 = 16 + 5 = 21 x2 = 16 – 5 = 11 x1= -1, x2 = Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng: = 21 *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0
19. Bài tập trắc nghiệm Chọn câu trả lời đúng: Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào? A x2 - 2x + 5 = 0 sai B x2 + 2x – 5 = 0 Đỳng C x2 - 7x + 10 = 0 D x2 + 7x + 10 = 0 Sai
20. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1 2 1 1/2 . 4x - 6x + 2 = 0 => x1 = ; x2 = 2 2 - 1 -1/2 . 2x + 3x + 1 =0 => x1 = ; x2 = 3 2 2 3 x - 5x + 6 = 0 => x1 = .; x2 = 2 4 2x + x + 5 = 0 => x1 = ;Khụng x2 cú = . Khụng cú 5 2 - 5 2 x + 3x - 10 = 0 => x1 = .; x2=
21. Qua bài học ta cú thể nhẩm nghiệm của pt x2 – 6x + 5 = 0 bằng mấy cỏch? * Dựng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 để tớnh nhẩm nghiệm Giải Ta có a=1, b= - 6, c=5 =>a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0. Nờn phương trỡnh cú hai nghiệm là: * Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm. Giải ’ = 9 – 5 = 4>0 Vì : 1 + 5 = 6 và 1. 5 = 5 nên x1=1 ,x2= 5 là hai nghiệm của phưương trình
22. Tiết 58. HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi- ét Hướng dẫn tự học: *Định lí Vi- ét: a) Bài vừa học: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì -Học thuộc định lớ Vi-ột và cỏch tỡm - b hai số biết tổng và tớch. x1+x2= a -Nắm vững cỏch nhẩm nghiệm: c a+b+c=0; a-b+c=0 X1.x2= -Trường hợp tổng và tớch của hai a *Tổng quát: PT ax2+bx+c = 0 ( ) nghiệm ( S và P) là những số nguyờn -Nếu a+b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: cú giỏ trị tuyệt đối khụng quỏ lớn. x1= 1, x2 = BTVN: 28bc /tr53, 29/tr54 (SGK) -Nếu a-b+c = 0 thỡ PT cú 2 nghiệm: Bổ sung thờm: Bài tập 38,41 trang 43,44 SBT x1= -1, x2 = 2. Tì m hai số biết tổng và tích của chúng: *KL: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0