Bài giảng Toán hình Lớp 9 - Luyện tập sự xác định đường trò , đường kính và dây

Nội dung text: Bài giảng Toán hình Lớp 9 - Luyện tập sự xác định đường trò , đường kính và dây

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1)Sự xác định đường tròn :Định nghĩa , cách xác định , tính chất đối xứng . 2)Định lý thuận (đảo ) về tam giác vuông nội tiếp đường tròn. 3)Định lý (1,2,3) quan hệ giữa đường kính và dây . 4)Định lý (1,2) liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây . 5)Chứng minh 4 điểm hoặc nhiều hơn 4 điểm cùng thuộc một đường tròn :Ta dùng định lý thuận về tam giác vuông nội tiếp đường tròn (Tìm các tam giác vuông có chung cạnh huyền).
2. LUYỆN TẬP SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN , ĐK VÀ DÂY Bài 1:∆ABC cân tại A: đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H,AB=5 cm, AD=4 cm Giải a)Chứng minh B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn . Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn . Ta có ∆BEC vuông tại E(BE là đường cao ∆ABC) → , , ∈ đườ푛𝑔 푡 ò푛 đườ푛𝑔 í푛ℎ .(1) Tương tự ∆BFC vuông tại F(BF là đường cao ∆ABC) → , 퐹, ∈ đườ푛𝑔 푡 ò푛 đườ푛𝑔 í푛ℎ .(2) Từ (1) và (2) → B, F, E, C ∈ đường tròn đường kính BC. Vì ∆ABD cân tại A, có AD là đường cao nên D là trung điểm của BC. Do đó tâm của đường tròn này là D,bán kính là BD. *)Xét ∆ABD vuông tại D có ∶ 2 = 2 − 2 푃𝑖 𝑔표 2 = 52 − 42= 9 →BD = 3(cm) Vậy bán kính của đường tròn này là 3 cm.
3. b)C/mA,E,H,F cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm I của đường tròn đó . Tương tự câu a . A,E,H,F ∈ đường tròn đường kính AH, tâm I là trung điểm của AH. c) C/m:I,E,D,F ∈ một đường tròn , xác định tâm K của đường tròn đó ෢ 0 ෢ = 900 퐹 = 90 0 퐹෡1 + 퐹෢2 = 90 0 ෢1 + ෢2 = 90 퐹෡1 = ෢1 퐹෢2 = 퐹 ෣ 0 ෢1 + 퐹 ෣ = 90
4. c)Ta có :IA=IF(A,F∈ ) → ∆ 퐹 cân tại I→ 퐹෡1 = ෢1(1) Tương tự :DF=DB(B,F∈ ) → ∆BFD cân tại D→ 퐹෢2 = 퐹 ෣(2) 0 ∆ABD vuông tại D nên ෢1 + 퐹 ෣ = 90 (3) 0 Từ (1), (2) ,(3) → 퐹෡1 + 퐹෢2 = 90 → 퐹 ෢ = 900 →I,F,D∈ đường tròn đường kính DI (3) C/m tương tự I,E,D ∈ đường tròn đường kính DI (4) Từ (3) và (4) →I,F,D, E ∈ đường tròn đường kính ID, tâm K là trung điểm của DI.
5. Bài 5:Cho hình vuông ABCD, AC cắt DB tại O M, N là trung điểm của OB, và DC,NH ⊥ OD a)C/m: ∆퐎퐀퐌 = ∆퐇퐌퐍 ∆OAM = ∆HMN HN=OM HM=OA ෣ = ෣ = 900 1 1 = OC = OB = OM 2 2 1 1 HO= O = OA 2 2 HN là đường TB 1 1 của ∆DOC OM = OB = OA 2 2
6. Bài Giải : a)Ta có :ABCD là hình vuông nên : OA = OB = OC = OD, AC ⊥ BD Xét ∆DOC có :ND=NC(gt), NH//OC(cùng vuông góc BD) 1 → = = O →HN là đường trung bình . 2 1 1 → = OC = OB = OM Mlà trung điểm OB 2 2 1 1 1 1 1 1 Lại có HO= O = OA, OM = OB = OA →HM= OA + OA = OA 2 2 2 2 2 2 Xét ∆OAM và ∆HMNcó : ෣ = ෣ = 900, HN=OM(cmt),HM=OA(cmt) → ∆OAM = ∆HMN (c. g. c)
7. b)C/m: 푴푵෣ = Vì ∆OAM = ∆HMN(Câu a) nên: 0 ෢ 1 = ෢1, mà ෢ 1 + ෢2 = 90 ∆ 푣 ô푛𝑔 0 0 → ෢ 1 + ෢2 = 90 → ෣ = 90 c)C/m:A,M,N,D cùng thuộc một đường tròn Ta có : ෣ = 900(Câu b) →A,M,N thuộc đường tròn đường kính AN(1) 푴푵෣ = ෣ = 900(ABCDlà hình vuông ) →A,D,N thuộc đường tròn đường kính AN(2) ෢ ෢ 0 Từ (1) và (2) →A,D,N,M thuộc đường tròn 1 + 2 = 90 đường kính AN. d)So sánh AN và MD ෢ 1 = ෢1, Xét đường tròn đường kính AN có MD là dây không đi qua tâm nên MD<AN ෢ + ෢ = 900 (quan hệ giữa đường kính và dây). 1 2
8. Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), hai đường cao BD,CE cắt nhau tại H, AM là đường kính của (O). Giải a)C/m:B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn . b) C/m:A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn Ta có ∆AEH vuông tại E(CE là đường cao∆ABC) → A, E, H thuộc đường tròn đường kính AH.(1) ∆ADH vuông tại D(BD là đường cao ∆ABC) → A, D, H thuộc đường tròn đường kính AH.(2) Từ (1) và (2) → A, D, H , E cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
9. c)C/m tứ giác BMCH là hbh Ta có ∆ABM nội tiếp (O), AM là đường kính nên ∆ABM vuông → ⊥ ∆ACN nội tiếp (O), AN là đường kính nên ∆ABM vuông → ⊥ Xét tứ giác BHCM có : BH // CM ( cùng AC) CH //BM (cùng AB) BH//CM → tứ giác BHCM là hbh. BH AC CM AC ∆ABM nội tiếp (O), AM là đường kính
10. c)Gọi I là trung điểm của BC .C/m:퐎퐈 = 퐀퐇 Theo câu (b) tứ giác BHCM là hình bình hành , Lại có I là trung điểm của đường chéo BC(gt) Nên I là trung điểm của đường chéo HM. Xét ∆ có :IH=IM(cmt) OA=OM(AM là đường kính của (O)) 1 → OI là đường trung bình của ∆AHM C/m:OI = AH 1 2 → OI = AH 2 OI là đường trung bình của ∆AHM I là trung điểm của HM
11. d)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. C/m:H,G,O thẳng hàng . AI là đường trung tuyến ∆ABC Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên 2 G∈ và AG = AI 3 Xét ∆AHM có AI là đường trung tuyến 2 (I là trung điểm HM), có G∈ và AG = AI 3 HO là đường trung → G là trọng tâm của ∆AHM tuyến của ∆AHM Lại có HO là đường trung tuyến của ∆AHM (O là trung điểm AM) G là trọng tâm → G ∈ HO hay H,G,O thẳng hàng . của ∆AHM Cách 2: 푮푯෣ = 푶푮푰෣ 2 ∆AHG~∆IOG AG = AI 3
12. e) Giả sử BC cố định , A di chuyển trên cunglớn BC.Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác ADH có giá trị lớn nhất . Kẻ DP⊥ AH, gọi N là trung điểm AH 1 Mà ∆ADH vuông tại D →DN= AH 2 1 1 1 Ta có S = AH. DP ≤ AH. DN ≤ 2 ADH 2 2 4 1 Theo câu (c) có: OI= AH 2 1 → S ≤ 2(Không đổi) ADH 4 Dấu “=“ xảy ra khi N trùng P → ∆ADH vuông cân tại D → ෣ = 450 → ෣ = 450 (H là trực tâm ∆ABC nên ∆AKC vuông ) Vậy ∆ABC phải có ෣ = 450