Bài giảng Toán số Khối 11 - Bài 1: Định nghĩa, ý nghĩa của đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng Toán số Khối 11 - Bài 1: Định nghĩa, ý nghĩa của đạo hàm

1. Chương V: ĐẠO HÀM §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 2 2 -1 Mo q x = x-1 1 ( ) f(x) = (2x2+x)-1 h(x) = (x3+x2)-2 1 A -2 1/2 1 D 3 3 g(x) = 3x- f(x) = x g(x) = 3x-2 2 -2 -2 -4 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
2. Kiểm tra Câu 1. Cho f(x) = x2 – 1. Tính f ’(2). Câu 2. Cho f(x) = x3. Tính f ’(-1), f ’(2), f ’(x0). HD Câu 1. Cá ch 2 Cá ch 1. Dy = f( D x22 + x)- f (x )= f( D x +22) - f ( ) éù00 =D+ëû( x2) =D 1 3( x) +D+- 4 x 4 4 2 f (x)−− f (2)Dy x 4 f '(2)=== lim Dx( D x +4) Þ = D lim x + 4. x→→ 2x−− 2Dx x 2 x 2 Dy lim ==limlim( D(xx +4 2))= =4 4.Þ f '( 2)= 4. Dx® 0 Dx® 0 Dx x2→
3. Kiểm tra bài cũ 3 Câu 2. Cho f(x) = x . Tính f ’(-1), f ’(2), f ’(x0). HD Trước hết ta thấy f (x)−− f (x ) x33 x lim00== lim x→→ x00x−− x00 x x x x 2 2 2 =lim (x + xx0 + x 0 ) = 3x 0 . xx→ 0 2 Nên f '(x00 )= 3x . Bây giờ lần lượt thay x0 = -1, x0 = 2 ta tính được f ’(-1) = 3, f ’(2) = 12. (Cũng có thể tính trực tiếp f ’(-1), f ’(2), theo định nghĩa)
4. Tiết 64. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM (tiếp theo) 2 2 -1 Mo 1 q(x) = x-1 3 2 f(x) = (2x2+x)-1 h(x) = (x +x )-2 1 A 1 -2 1/2 D f(x) = x3 g(x) = 3x-2 3 g(x) = 3x- 2 -2 -4 -2
5. y y = f(x) (C) T O x M M 0 M→M0 thì M0M →M0T M0T: tiếp tuyến của (C) tại M0 M0: tiếp điểm
6. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm a)Tiếp tuyến của đường cong phẳng Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) cố định thuộc (C), điểm M(xM;yM) di động trên (C). Kí hiệu kM là hệ số góc của cát tuyến M0M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn lim kM0= k . xxM0→ Khi đó đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0 được gọi là tiếp tuyến của (C) TẠI điểm M0. Điểm M0 được gọi là tiếp điểm.
7. M(xM;yM), M0(x0;y0) có xM khác x0, tính hệ số góc kM của đường thẳng M0M. VTCP của đường thẳng M0M là M0 M= (x M − x 0 ;y M − y 0 ), nên hệ số góc của đường thẳng này là yM−− y 0 f (x M ) f (x 0 ) k.M == xM−− x 0 x M x 0
8. Vì hệ số góc của M0T là k 0M = lim k và hàm xxM0→ số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 nên f (xM0 )− f (x ) k0= lim k M = lim = f '(x 0 ). xM→→ x 0 x M x 0 xxM0− Vậy f ’(x0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến M0T.
9. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho y = f(x) (C) có đạo hàm tại điểm x = x0, khi đó f ’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) TẠI điểm M0(x0;y0) (C). Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và Tiếp tuyến M0T đi qua cóM hệ(x số;y góc) và kcó thìhệ cósố phươnggóc f ’(x trình) Tiếp tuyến0 0M00T của (C) có phương trình 0 y – y0 = k(x – x0) Đườngnên có thẳngphươngnhư đi thế qua nào?trình điểm M0(x0;y0) và có hay y = k(x – x0) + y0. hệ số gócy – k ythì0 =có f phương’(x0)(x trình – x0 như) thế nào? hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).
10. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm c) Phương trình tiếp tuyến Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) thuộc (C), hàm số f(x) có đạo hàm tại x = x0. Khi đó tiếp tuyến M0T của (C) TẠI điểm M0 có phương trình y – y0 = f ’(x0)(x – x0) hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0). M0(x0;y0): tiếp điểm. x0: hoành độ tiếp điểm. y0 = f(x0): tung độ tiếp điểm. k = f ’(x0): hệ số góc của tiếp tuyến.
11. Muốn viết phương trình tiếp tuyến cần biết những yếu tố nào? Cần biết tiếp điểm và hệ số góc. (Tức là phải biết x0, y0, f ’(x0))
12. 2 VD4. Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x – 1 (C1) tại điểm M0(2; 3). 3 VD5. 1) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x (C2) tại điểm có hành độ x0 = -1. 3 2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x (C2) tại điểm M0 có tung độ y0 = 8. 3 3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x (C2) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3. HD. VD4.VD5. Tiếp1) Ta điểm có y0 M= 0f(x(2;0 3).) = Hệf(-1) số = góc -1. củaNhư tiếp vậy tuyến tiếp điểm là điểm M0(- 1; f- (x)1).−− f (2) x2 4 Hệk= số f '(2) gócXem = của lim tiếplại tuyếncác bài = lim tập ở phần = lim (xkiểm + 2) = tra! 4. x→ 2x−− 2 x → 2 x 2 x → 2 f (x)− f ( − 1) x3 + 1 k= f '( − 1) = lim = lim = lim (x2 − x + 1) = 3. Vậy tiếp tuyếnx→− có 1 PT x y++ = 1 4(x – x2) →− + 1 3 x hay 1 y x= →− 4x 1 – 5. Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) -1 hay y = 3x + 2.
13. VD5. 3 2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x (C1) tại điểm M0 có tung độ y0 = 8. 3 3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x (C1) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3. HD. 3 VD5. 2) Ta có y0 = f(x0) 8 = (x0 ) x0 = 2. Như vậy tiếp điểm là điểm M0(2; 8). Hệ số góc của tiếp tuyến f (x)−− f (2) x3 8 k= f '(2) = lim = lim = lim (x2 + 2x + 4) = 12. x→ 2x−− 2 x → 2 x 2 x → 2 Vậy tiếp tuyến có PT y = 12(x - 2) + 8 hay y = 12x - 16.
14. HD. VD5. 3)Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số đã cho là điểm M0(x0; y0). Ở phần kiểm tra ta đã tính được Ta có k = f ’(x ) 3 = 3(x )2 x = 1 hoặc x = -1.2 0 0 0 f '(x000 )= 3x . ☺ TH1: x0 = 1 y0= 1. Tiếp điểm là điểm M0(1; 1). Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3. Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x - 1) + 1 hay y = 3x - 2. ☺ TH2: x0 = -1 y0 = -1. Tiếp điểm là điểm M0(-1; -1). Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3. Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) - 1 hay y = 3x + 2. KL: có hai tiếp tuyến của (C2) thỏa mãn yêu càu của bài toán: y = 3x – 2 và y = 3x + 2.
15. CâuTiếphỏituyến: Có củabaođồnhiêuthị hàmtiếpsốtuyếny = xcủa3 đồ thị hàm số y = x3 (C ) có hệ số góc tại điểm có hoành độ x20 thì có hệ số âm? góc là 33 xx− 0 2 k= y'(x0 ) = lim = 3x 0 0 (  x 0 ). xx→ 0 xx− 0 Do đó đồ thị hàm số y = x3 không có tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.
16. 6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm a) Vận tốc tức thời Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại t0) của một chuyển động có phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của hàm số s(t) tại điểm t0, tức là v(t0) = s’(t0). b) Cường độ tức thời Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t với Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm thì cường độ dòng điện tức tời I(t0) là đạo hàm của hàm Q(t) tại điểm t0, nghĩa là I(t0) = Q’(t0).
17. cñng cè Qua bài này HS cần nắm được ý nghìa hình học của đạo hàm và ghi nhớ cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số TẠI một điểm y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).
18. VÒ nhµ + SGK: các bài 5, 6, 7 (trang 156, 157), 7 (176), 9 (177), 20a (181). + SBT: các bài 1.8 (195), 6, 7, 8 (208). + BT bổ sung: Cho hàm số (C) y = - x3 + 4x (C). 1) Tính y’(x0) bằng định nghĩa. 2) Viết PTTT của (C) tại điểm có tung độ y0 = 0. 3) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất.