Bài giảng Toán số Khối 11 - Tiết 42: Cấp số cộng

Nội dung text: Bài giảng Toán số Khối 11 - Tiết 42: Cấp số cộng

1. KIỂM TRA BÀI CŨ Câu hỏi 1: Nêu các cách cho một dãy số? Câu hỏi 2: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là: -1, 3, 7, 11 a) Hãy chỉ ra quy luật của dãy số ? b) Hãy viết tiếp 5 số hạng của dãy số theo quy luật đó
2. KIỂM TRA BÀI CŨ Trả lời Câu 1: các cách cho một dãy số là : 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả. 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Câu 2 : a) Quy luật: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi là 4. b) Năm số hạng tiếp theo của dãy số viết theo quy luật trên là: 15, 19, 23, 27, 31
3. Tiết 42: §3. CẤP SỐ CỘNG I. Định nghĩa II. Số hạng tổng quát III. Tính chất các số hạng của CSC IV. Tổng n số hạng đầu của CSC
4. §3. CẤP SỐ CỘNG I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng Khi đó từ định nghĩa ta có: Dãy (un) là CSC với công sai d un + 1 = un + d, n N* Đặc biệt Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tøc lµ: u1 = u2 = u3 = u4 = .)
5. §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 1: Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy nào là CSC ? a) -5, -2, 1, 4, 7, 10 CSC với công sai d = 3 b) 2, 4, 7, 10, 13, 14, 15, 20 Không là CSC 1 2 3 4 5 c) , , , , Không là CSC 2 3 4 5 6
6. §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 2 : Cho CSC (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d. Tính u2; u3; u4 theo u1 và d. Dự đoán un theo u1 và d. Giải: Ta có : u2 = u1 + d u3 = u2 + d = u1 + 2d u4 = u3 + d = u1 + 3d Dự đoán un = u1 + d
7. §3. CẤP SỐ CỘNG II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lý 1 Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức : un = u1 + (n – 1)d với n 2 Ví dụ 3 : Cho cấp số cộng (un) có u1 = -7 và công sai d = 2. a) Tính u15 b) Số 41 là số hạng thứ bao nhiêu ? Giải: a) u15 = u1 + 14d = -7 + 14.2 = 21 b) Ta có : u = u + (n – 1)d n 1 41 + 7 41 = - 7 + ( n – 1 ).2 n - 1 = n = 25 2
8. §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 4 : Cho cấp số cộng 1, 3, 5, 7, 9, , uk-1 , uk, uk+1, Có nhận xét gì về ? uu13+ u1 + u3 và u2 Ta thấy u1 + u3 = 2.u2 = u = 2 2 uu+ u + u và u Ta thấy u + u = 2.u = u = 35 3 5 4 3 5 4 4 2 uu+ u + u và u Ta thấy u + u = 2.u = u = 46 4 6 5 4 6 5 5 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Dự đoán uk – 1 + uk + 1 và uk (với k 2 ) u + u u= k-1 k+1 k 2
9. §3. CẤP SỐ CỘNG III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lí 2 Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uu+ u= k−+ 1 k 1 ,( k 2) k 2 Nhận xét : ba số a; b; c lập thành một cấp số cộng a + c = 2b
10. §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 5 : Cho cấp số cộng có một trăm số hạng là : 1, 2, 3, , 100 được viết vào bảng sau: 1 2 3 99 100 a) Viết các số hạng của cấp số cộng trên vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột. b) Tính tổng S các số hạng của cấp số cộng đó
11. 4 §3. CẤP SỐ CỘNG a. Cấp số cộng có một trăm số hạng là : 1, 2, 3, , 100 được viết vào bảng sau: 1 2 3 99 100 100 99 98 2 1 101 101 101 101 101 101 luôn là tổng của hai số 1 là số hạng b. Gọi S100 là tổng 100 số hạng của cấphạng số cộng, nào? khi đó : nào? u1 2S100 = 100.101 100.(1 + 100) =S 100.101 = 100 2 2 100 làu số100 Tổng quát: Tổng n số hạng đầu: Sn = ? hạng nào?
12. §3. CẤP SỐ CỘNG IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG ĐỊNH LÍ 3 Cho cấp số công (un). Đặt Snn= u12 + u + + u . n( u + un ) Khi đó : S= 1 n 2 n( n-1) d Chú ý : S = n.u + n 1 2
13. §3. CẤP SỐ CỘNG I. ĐỊNH NGHĨA (un) là cấp số cộng * u = un + d , vôùi n n+1 Bài tập II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Cho cấp số cộng (un) ĐỊNH LÍ 1 (sgk – T94) Hoàn thành bẳng sau : un = u1 + (n – 1)d, n 2 III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG Nhóm 1 CỦA CẤP SỐ CỘNG : ĐỊNH LÝ 2 : (sgk - T95) u1 d un n Sn u +u u =k-1 k+1 , (k 2) -2 3 55 20 530 k 2 IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG 36 -4 -20 15 120 ĐỊNH LÝ 3 : (sgk - T95) n( u + u ) n( n -1) d S= 1nS = n.u + n 2 n1 2 Nhóm 2
14. ÁP DỤNG c. Tìm S Cho dãy số (un) với un = 3n-5 15 Áp dụng công thức : a. Chứng minh dãy (un) là CSC. Tính u1 và d. n() u1 + un S=n b. Tìm u15. 2 c. Tính tổng của 15 số hạng đầu. 15(−+ 2 40) S ==285 d. Biết Sn = 115, tìm n. 15 2 Giải d. Tìm n. Biết Sn = 115 Áp dụng công thức : a. Xét hiệu : nn(− 1) Sn1 = nu+ d un+1 – un = 3(n+1)-5 - (3n-5) = 3 2 (hằng số) nn(− 1).3 Ta có : 115=n ( − 2) + Vậy dãy (un) là CSC Với u1=-2, d=3 2 b. Áp dụng công thức : 3nn2 −7 − 230 = 0 = 40 Giải pt với *, ta có n = 10 u15 = −2 + (15 − 1).3 n