Bài giảng Toán số Lớp 12 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

1. Kiểm tra bài cũ: 1. Nêu các công thức tính diện tích hình phẳng ? Đáp án: - CT tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là: b S = f (x)dx a - CT tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và các đường thẳng x=a, x=b là b S = f (x) − g(x)dx a 2. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h? V=Bh 3. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h? 1 V = Bh 3
2. II. TÍNH THỂ TÍCH 1. Thể tích của vật thể b V= S( x) dx a (1)   S(x) S(x) x O a x b
3. Ví dụ 1 Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Giải: Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x=0 và x=h. x Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi h S(x)=B; (0< x <h). S(x)=B Áp dụng CT (1) ta có: x h h h V = S(x)dx = Bx = Bh O 0 0 0
4. 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó. Ta có: O b V= S( x) dx S(x) x a Xét phép: h x 2 h x VO : S→ S( x) S( x) = 2 S B h A Sh Sh V = x2 dx = 2 h 0 3 x
5. b) Từ công thức và cách tính thể tích khối chóp, hãy xác định công thức tính thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B và chiều cao bằng h Ta có: OM=a; ON=b (a<b); MN=h S O , a b x2 B B V = B dx = (b3 − a3 ) 2 2 M a b 3b (b − a) (a2 + ab + b2 ) = B . 3 b2 h V = (B + BB ' + B' ) B b 3 N x
6. 3. Thể tích khối tròn xoay: a). Giả sử hình giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trục Ox Tạo thành một vật thể tròn xoay T. •Thiết diện của vật thể T, với mp vuông góc với Ox tại điểm x, là một hình tròn bán kính y = f(x) Diện tích thiết diện: S(x) = y2 Thể tích V của vật thể: b V= y2 dx a
7. Ví dụ2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 các đường thẳng x=1, x=2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục y hoành. 2 31 Đáp số V = x 4 dx = 1 5 Bạn giỏi O 1 2 x quá!
8. Ví dụ 3: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y=cosx, y=0, x=0 và x=Π/4. tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành Đáp số 4 ( + 2) V = cos 2 xdx = 0 8 Đúng rồi!
9. Ví dụ 4: Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0<x<3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9 − x2 Bạn giỏi Đáp số 3 quá! V = 2x 9 − x2 dx = 0