Bài giảng Toán số Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài 1: Nguyên hàm

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài 1: Nguyên hàm

1. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 4/19/2021 1
2. Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 4/19/2021 2
3. 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : a)Ta có (x2 )' = 2x nên F(x) = x 2 b) Ta thấy (sin x)' = cos x nên F(x) = sinx khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x) 4/19/2021 3
4. 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Câu hỏi : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= cos 2 x 1 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y = x ln 10 4/19/2021 4
5. 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là F(x) − F(a) F(x) − F(b) = f (a) hay lim = f (b) lim − x −b x→a+ x − a x→b • Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b) Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]. 4/19/2021 5
6. 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. 4/19/2021 6
7. 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là f(x)dx= F(x) + C,C . trong đó f(x)dx là vi phân của F(x). Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f ( f(x)dx)'= f(x) Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4/19/2021 7
8. 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 0dx = C dx = 1dx = x +C x +1 x dx = + C( −1) +1 1 dx = ln x + C x 4/19/2021 8
9. 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp cos( kx+ b ) sin( kx+ b )dx = − + C ,k 0. k sin( kx+ b ) cos( kx+ b )dx = + C k kx x e x a ekx dx=+ C a dx= + C(0 1 ) k lna 1 1 dx=+ tan x C dx= − cot x + C cos2 x sin2 x 4/19/2021 9
10. 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K , với a là số thực khác 0 thì: [f(x)+ g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx af ( x )dx= a f ( x )dx [] f(x)dx '= f(x) Chú ý: f(t)dt=+ F(t) C f [u( x )]u'( x )dx = F [u( x )] + C f(u)du=+ F(u) C 4/19/2021 10
11. 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Chú ý: Nêu f ( x )dx=+ F( x ) C thì 1 f ( ax+ b )dx = f ( ax + b )d( ax + b ) a 1 = F( ax + b ) + C a u'(x) n n n n+1 dx = ln u(x) + C xdx = x + C u(x) n +1 dx n = n xn−1 + C dx n = 2 x + C x n −1 x dx −1 = + C n n−1 4/19/2021 x (n −1)x 11
12. Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai: A. exdx = ex + C B. 2dx = 2x + C C. sin xdx = cos x + C x2 D. xdx = + C 2 4/19/2021 12
13. Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x )= x +33 3x + 5 x Giải 1 1 1 f (x) = x + 3 3x + 3 5x = x 2 + (3x)3 + (5x)3 1 1 1 f (x)dx = [x 2 + (3x)3 + (5x)3 ]dx 3 2x 2 1 3 4 1 3 4 = + 33  x 3 + 53  x 3 + C 3 4 4 2 3 34 3 5 = x3 +  3 x4 + 3  3 x4 + C 3 4 4 4/19/2021 13
14. Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x )=+ ( 3x 2 x ) 2 Giải f (x) = (3x + 2x )2 = (3x )2 + 2.3x.2x + (2x )2 = 9x + 2.6x + 4x 9x 6x 4x Vậy f (x)dx = + 2. + + C ln 9 ln 6 ln 4 4/19/2021 14
15. Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: sin3 x− 2 f ( x ) = 3 sin2 x Giải sin 3 x − 2 sin x 2 1 f (x) = = − 3sin 2 x 3 3 sin 2 x Vậy sin x 2 1 2 − dx = − cos x + cot x + C 3 3sin 2 x 3 3 4/19/2021 15
16. Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: xx f ( x )=− 8 sin3 6 sin Giải 33 x x f (x) = 8sin 3 − 6sin 3 3 x x = −2(3sin − 4sin 3 ) = −2sin x 3 3 Vậy f (x)dx = (−2sin x)dx = −2(−cos x) +C = 2cos x +C 4/19/2021 16
17. Bảng các nguyên hàm mở rộng  a0 1 dx 1 sin( ax + b)dx = − cos(ax + b) + C = ln ax + b + C a ax + b a 1 1 cos(ax + b)dx = sin( ax + b) + C eax+bdx = eax+b + C a a 1 1 dx = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 (ax + b) +1 (ax + b) dx =  + C( −1) a +1 1 1 dx = − cot(ax + b) + C sin 2 (ax + b) a 4/19/2021 17
18. Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: 1 f ( x ) = Giải 2x2 +− x 3 1 1 1 f (x) = =  2 3 2x + x − 3 2 (x −1)(x + ) 2 2 3 [(x + ) − (x −1)] 1 1 1 1 =  5 2 = ( − ) 3 3 2 (x −1)(x + ) 5 x −1 x + 2 2 1 1 1 f (x)dx = [ dx − dx] Vậy 3 5 x −1 x + 1 2 = [ln x −1 − ln x + 3/ 2 + C] 5 1 x −1 = ln + C 4/19/2021 5 x + 3/ 2 18
19. Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: 1 f ( x ) = 2+− sin x cos x Giải 1 1 f (x) = = 2 + sin x − cos x 2 − 2 cos(x + ) 4 1 1 = = x 2[1− cos(x + )] 2 2 sin 2 ( + ) 4 2 8 Vậy 1 dx −1 x f (x)dx = = cot( + ) + C x 2 2 sin 2 ( + ) 2 2 8 2 8 4/19/2021 19
20. Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x )= exx + e− − 2dx Giải x −x x −x f (x) = ex + e−x − 2 = (e2 −e 2 )2 =| e2 −e 2 | xx− xx− Xét e22− e 0 x 0 22 x −x x −x x −x f (x) = e2 −e 2 f (x)dx = (e 2 −e 2 )dx = 2(e 2 + e 2 ) +C xx− Xét e22− e 0 x 0 x −x −x x −x x f (x) = −e2 + e 2 f (x)dx = (e 2 −e2 )dx = −2(e 2 + e2 ) +C 4/19/2021 20
21. Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số: x3 −+ 3x 2 f ( x ) = Giải x( x2 ++ 2x 1 ) x3 −3x + 2 2 4 f (x) = =1− + x(x2+2x +1) x x(x +1)2 1 a b c Ta có = + + x(x +1)2 x x +1 (x +1)2 1= a(x +1)2 +bx(x +1) + cx Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1 Do đó x3 −3x + 2 2 1 1 1 =1− + 4 − − 2 2 x(x +2x +1) x x x +1 (x +1) x 4 f (x)dx = x − 2ln | x | +4ln + + C 4/19/2021 x +1 x +1 21