Bài giảng Toán số Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài 1: Nguyên hàm - Trường THPT số III An Nhơn

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài 1: Nguyên hàm - Trường THPT số III An Nhơn

1. Bài toán vật lý • Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) • Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t) Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x)
2. &1. NGUYÊN HÀM I. Nguyªn hµm vµ tÝnh chÊt : II. 1. Nguyªn hµm : a. §Þnh nghÜa: Hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn K Hµm sè F(x) gäi lµ nguyªn hµm cña f(x) trªn K nÕu F’(x) = f(x) víi mäi x thuéc K
3. Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những hàm số nào a. F(x) = x2 b. F(x) = x2 + 3 2 c. F(x) = x - 4 d. Tất cả các hàm số trên Hãy chọn phương án đúng
4. Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số 1 gx()= trªn các khoảng x¸c ®Þnh. cxos2 Tổng quát ta có định lý
5. b.Định lý: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) kí hiệu : f( x ). dx=+ F ( x ) C
6. 2.Tính chất của nguyên hàm / Tính chất 1 : f()() x dx=+ f x C Tính chất 2 : kf()() x dx=+ k f x C (k 0) Tính chất 3 : [fx ( ) gxdx ( )] = fxdx ( ) gxdx ( )
7. 3.Sự tồn tại nguyên hàm Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. 0dx = C ax 5. ax dx = + C ln a 2. dx = X + C 6. cosx . dx = Sinx + C 1 +1 3. x dx = xC+ 7. sinx . dx = - Cosx + C +1 1 1 4. dx =ln xC+ 8. 2 dx = Tanx + C x cos x x x 1 5. e dx = eC+ 9. dx =- cotx + C sin2 x
8. VD:Tính nguyên hàm 1 1 − 1. (3x3 += ) dx 3 x3 dx+ x2 dx x 3 1 =x4 +2 x2 + C 4 2, (2sinx−= 2x+1 ) dx 2 sinxdx− 2 2x dx 2x = −2cosxC − 2 + ln 2 1 3, 2sin 2x .cos xdx = .2( sinxdx+ sin 3 xdx ) 2 1 = −cosx − cos3 x + C 3
9. Qua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C
10. VD 2 Chứng minh Rằng : tan2 x . dx = tan x−+ x C Ta có : (1+− tan2 x 1) dx 1 =−( 1)dx =tan x − x + C cos2 x
11. 1 Hàm số F ( x ) =− c os 2 x là nguyên 23 hàm của hàm số nào sau đây? a. c. 1 f1 ( x) =−sin 2 x f3 ( x) =−sin 2 x 3 23 b. 1 d. f2 ( x) = −sin − 2 x f4 ( x) =−sin 2 x 23 3
12. ax +1 2. X¸c ®Þnh a ®Ó hµm sè Fx ( ) = lµ x −1 1 mét nguyªn hµm cña hµm sè fx( ) = (x −1)2 a 1 trªn R \1  / 11− −−a 1 Ta có Fx()= = (x − 1)2 (x − 1)2 Suy ra : - a – 1 = 1 Vậy a = - 2
13. x + 1 3. Cho fx ( ) = vµ F ( x ) = ( ax + b ) 21. x + 21x + X¸c ®Þnh a, b ®Ó F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn 1 −; + 2 GIẢI: 1 F/ ( x )= a . 2 x + 1 + ( ax + b ). a(2 x+ 1) + ax + b 3ax++ a b 21x + = = 1 21x + 21x + a = 3 31a = Suy ra : 2 ab+=1 b = 3
14. 4. X¸c ®Þnh a, b, c sao cho hµm sè F(x)=(ax2+bx+c)e-x lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x)=(2x2-5x+2)e-x trªn R
15. 1 Fx()= Hàm số 2 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 fx a. f x= x c. 3 ( ) =− 1 ( ) 4xx 1 1 fx= fx2 ( ) = d. 4 ( ) b. 2xx 4xx
16. Bµi tËp T×m F(x) biÕt F ( x ) = 2 xdx vµ F(1)=3 Híng dÉn: F(x)=x2+C Mµ F(1)=3 1+C=3 C=2 VËy F(x)=x2+2
17. II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số: a. Định lý 1 : nếu f()() u dx=+ F u C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : f( u ) u/ ( x ) dx=+ F ( u ( x )) C b.Phương pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3: tính
18. VD: tính các nguyên hàm sau 1. (2x+ 1)5 dx B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2x+= 1)55 dx u . 2 11 1 =u56 du = u + C =(2xC + 1)6 + 2 12 12
19. VD: tính các nguyên hàm sau 2. x23 x+ 5. dx B1: đặt ux=+3 5 du B2: du= 3 x2 dx =x2 dx 3 B3: du x23 x+=5. dx u . 3 22132 3 =u22. du = u + C =(xC3 + 5)2 + 99 9
20. Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau 2. x23 x+ 5. dx 3 23 B1: đặt ux=+5 ux = + 5 2.u du B2: 2u . du= 3 x2 dx =x2 dx 3 B3: 2.u du x23 x+=5. dx u . 3 3 22232 =u. du = u + C =(xC3 + 5)2 + 39 9
21. VD: tính các nguyên hàm sau 3. sin23x .cos x . dx B1: đặt ux= sin B2: du= cos x . dx B3: sin22x .(1− sin x )cos x . dx = u2(1 − u 2 ). du = ( u 2 − u 4 ) du uu35 sin35xx sin = − + C = − + C 35 35