Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( Đề thi gồm 5 câu, 01 trang) Câu 1(5 điểm): x x 3 2( x 3) x 3 1) Cho biểu thức A = x 2 x 3 x 1 3 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A 2) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Câu 2. (3,5 điểm) a) Cho x 3 5 3 5 1 . Tính giá trị của biểu thức P 2x3 3x2 4x 2 . b) Chứng minh: 1 1 1 1 1 .... . 3 1 2 5 2 3 7 3 4 4037 2018 2019 2 Câu 3 (3,5 điểm) Cho phương trình (m2 5)x2 2mx 6m 0(1) với m là tham số. a)Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên. b)Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiện (x x x x )4 16 1 2 1 2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, vẽ AH vuông góc với BC tại H, vẽ đường kính AD cắt BC tại I, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho IM song song với CD. a)Chứng minh: Tứ giác AHIM nội tiếp một đường tròn. b)Chứng minh: AB.AC AH.AD . c)Chứng minh: HM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH. d)Chứng minh: AB.CD AC.BD 4R2 . Câu 5 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 a 2 b2 5 1 b 2 c2 5 1 c 2 a2 5 P  ab a 4 bc b 4 ca c 4 ........HẾT........
2. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2022 - 2023 Câu Ý Nội dung Điểm 1. a) ĐKXĐ : x 0; x 9 0,25 x x 3 2( x 3) x 3 A = 0,25 ( x 1)( x 3) x 1 x 3 x x 3 2( x 3)( x 3) ( x 3)( x 1) a(2đ) A= 0,5 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 3)( x 1) x x 3 2x 12 x 18 x 4 x 3 A = 0,25 ( x 1)( x 3) x x 3x 8 x 24 ( x 3)(x 8) x 8 A = = = 0,5 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 1 Câu 1 0,25 KL:................. (5,0đ) b)A= 0,5 x 1 9 x 1 9 9 9 x 1 x 1 2 Cosi 2.3 2 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5 b(1,5đ) Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4 0,5 9 x 1 ( x 1)2 9 x 1 3 x 4(t / m) x 1 2).Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức M = x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. M x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021 0,5 2(1,5đ) x5 2x4 2020x3 x3 2x2 2020x x2 2x 2020 1. 0,5 x 1 2021 x 1 2021 x 1 2 2021 x2 2x 2020 0. 0,5 M 1
3. 6 2 5 6 2 5 x 3 5 3 5 1 1 0,25 2 2 2 2 5 1 5 1 0,25 = 1 2 2 5 1 5 1 1 2 2 0,25 5 1 5 1 -1(do 5 1  0; 5 1  0 ) a(2đ) 2 2 0,25 2 1 x 1 2 x2 2x 1 0,25 Có P 2x3 3x2 4x 2 2x x2 2x x2 2x 2x 2 0,25 0,25 Thay x2 2x 1 vào biểu thức P = 2x - 1 - 2x +2 = 1 0,25 Vậy P = 1. Có: 1 n 1 n 0,5 2n 1 n n 1 2n 1 Câu 2 0,5 n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 1 (3,5đ) 2n 1 4n2 4n 1 4n2 4n 2 n n 1 b(1,5đ) Do đó 1 1 1 ... 3 1 2 5 2 3 4037. 2018 2019 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 . 1 ... 1 2 2 2 3 2018 2019 2 2019 2
4. a) Phương trình (1) có hệ số a m2 5 0 nên là phương trình bậc hai ẩn x. Do đó 0,25 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ' m2 (m2 5).6m 0 m2 6m3 30m 0 0,5 m(6m2 m 30) 0 0,25 2 1 2 119 m 5m (m ) 0  24 0m a(1,75đ) m 0 2m Khi đó theo định lý Vi–ét ta có: x x 1 2 m2 5 0,25 Xét m2 5 2m (m 1)2 4 0 . Mà m>0 => m2 5 2m 0 2m 0,25 0 1 0 x x 1 m2 5 1 2 Vậy tổng hai nghiệm của (1) không thể là số nguyên. 0,25 b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 1 119 0,25 ' 0 m 5m2 (m )2 0 2 4 m 0 Câu 3 2m x x 1 2 m2 5 (3,5đ) Khi đó, theo định lý Vi–ét: 6m x x 0,25 1 2 m2 5 b(1,75đ) Ta có: 4 (x1x2 x1 x2 ) 16 x x x x 2 1 2 1 2 x x x x 2 1 2 1 2 0,25 TH1: x1x2 x1 x2 2 6m 2m 2(2) m2 5 m2 5 0,25
5. 2m Đặt t ;t 0 phương trình (2) trở thành 3t 2 t 2 0 m2 5 Xét 12 4( 3)( 2) 23 0 ⇒ (2) vô nghiệm. 0,25 6m 2m TH 2 : x x x x 2 2(3) 1 2 1 2 m2 5 m2 5 2m Đặt t ;t 0 phương trình (3) trở thành 3t 2 t 2 0 m2 5 (t 1)(3t 2) 0 0,25 t 1(loai) 2 t (tm) 3 2 2m 4 2 2m 4 t t 3 m2 5 9 3 m2 5 9 4m2 18m 20 0 4m2 18m 20 0 m 2 4m 10 0 m 2 4m 10 0 0,25 m 2(tm) m 2(tm) 5 5 m (tm) m (tm) 2 2 5 Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là m 2;  2
6. A 1 2 E O M 1 1 2 B H I C 1 D · o Ta có: ACD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,5 A· MI A· CD 90o (đồng vị, IM // DC) a(1,5đ) Tứ giác AHIM có: 0,5 Câu 4 · · o o o 0,5 (6,0đ) AHI AMI 90 90 180 AHIM là tứ giác nội tiếp. AHB và ACD có: · · o µ µ 1 » AHB ACD 90 ; B1 D1 sđAC 1 2 b(1,5đ) AHB ACD (g-g) 0,5 AB AH AB.AC = AH.AD AD AC BC 0,5 Vì AHB vuông tại H nên AHB nội tiếp E; , với E là trung 2 điểm BC. c(2đ) AHB ACD Aµ 1 Aµ 2 0,5 µ µ EAH cân tại E A1 H1 0,25 Tứ giác AHIM nội tiếp Aµ 2 Hµ 2 0,5
7. Do đó: Hµ 1 Hµ 2 E· HM A· HC 90o HM  EH 0,25 HM là tiếp tuyến của (E) (đpcm) AHB ACD 0,5 AB HB AB.CD AD.HB AD CD d(1đ) Chứng minh tương tự được AC.BD = AD.HC 0,25 AB.CD + AC.BD = AD(HB + HC) = 2R.BC Vì ABC nhọn BC < 2R 0,25 AB.CD + AC.BD < 4R2 (đpcm) Dễ chứng minh các bất đẳng thức: 1 1 4 0,5 x2 y2 2xy ; với x, y 0 x y x y Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng các bất đẳng thức trên, ta có: 2 1 a b2 5 a2 b2 2a 6 2ab 2a 6 2(ab a 4) 2 0,5 ab a 4 ab a 4 ab a 4 ab a 4 2 1 4 1 1 1 2 2  2 ab a 4 2 (ab a 1) 3 2 ab a 1 3 11 1 1 Câu 5  6 2 ab a 1 (2,0đ) Tương tự: 2 1 b c2 5 11 1 1  bc b 4 6 2 bc b 1 0,25 2 1 c a2 5 11 1 1  ca c 4 6 2 ca c 1 11 1 1 1 1 P 2 2 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Vì abc 1 nên:
8. 1 a a bc b 1 abc ab a ab a 1 1 ab ab ca c 1 a2bc abc ab ab a 1 0,25 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 a ab ab a 1 ab a 1 ab a 1 1 11 1 P 5 2 2 Dấu “=” xảy ra 0,25 a b c ab a 1 bc b 1 ca c 1 3 a b c 1 abc 1 Vậy min P 5 a b c 1 0,25 Lưu ý : - Trên đây chỉ là một cách hướng dẫn chấm. - Học sinh làm cách khác đúng , lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.
9. TÊN FILE ĐỀ THI: ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 Năm học 2022 - 2023 TỔNG SỐ TRANG (GỒM ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẢN CHẤM) LÀ: 08 TRANG. NGƯỜI RA ĐỀ NGƯỜI THẨM ĐỊNH XÁC NHẬN CỦA XÁC NHẬN CỦA (Họ tên, chữ ký) (Họ tên, chữ ký) HIỆU TRƯỞNG CỤM TRƯỞNG (Họ tên, chữ ký, đóng dấu) (Họ tên. chữ ký, đóng dấu) Phạm Thị Dung Hà Thị Kim Dinh Hà Thị Kim Dinh