Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2023-2024 môn Toán Lớp 9 - Đề 1 - Trường THCS Phong Huy Lĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2023-2024 môn Toán Lớp 9 - Đề 1 - Trường THCS Phong Huy Lĩnh (Có đáp án)

1. Phòng GD & ĐT Đông Hưng ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2023 – 2024 Trường THCS Phong Huy Lĩnh Môn: Toán 9. Thời gian làm bài 90 phút. Bài 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình a) x2 -10x + 24 = 0 1 3 1 b) 2(x 1) x2 1 4 Bài 2 (2,0 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m + 1) x – m2 – 2m (m là tham số) a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) khi m = 1. b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt (x 1, y1) và (x2, y2) sao cho y1 + y2 = 10. (m 1)x 3y m 1 Bài 3 (1,5 điểm) Cho hệ phương trình x (m 1)y 3 a) Giải hệ phương trình khi m = 3; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x2 + y2 = 1. 2 Bài 4 (0,5 điểm) Một hình trụ có diện tích xung quanh là Sxq = 96π cm , biết chiều cao h = 12cm. Hãy tính bán kính đường tròn đáy R của hình trụ đó. Bài 5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (A, B là tiếp điểm). Từ A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E; B thuộc cung nhỏ DE). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn và chứng minh HA là phân giác của góc BHC. c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh AB2 = AI.AH. d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh AE//CK. Bài 6 (0,5 điểm) Cho x, y là hai số thực thoả mãn x.y = 1. 4 Chứng minh rằng: + x2 + y2 3. Đẳng thức xảy ra khi nào ? (x + y)2 -------------------------------- HẾT -------------------------------
2. II – Biểu điểm Bài Ý Đáp án Điểm a) Phương trình x2 –10x + 24 = 0 1,0đ Có ’ = b’2 - ac = (-5)2 – 1.24 = 25 – 24 = 1 0,25 Vì ’ = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 0,25 b 5 1 b 5 1 0,25 x 6;x 4 1 a 1 2 a 1 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 6, x2 = 4 0,25 Bài 1 b) 1 3 1 0,25 2 đ ĐKXĐ: x 1. 1,0đ 2(x 1) x2 1 4 2(x + 1) + 12 = x2 – 1 x2 - 2x - 15 = 0 0,25 ’ = (-1)2 + 15 = 16 > 0, ' 16 4 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0,25 x1 = 1 - 4 = - 3 (TM); x2 = 1 + 4 = 5 (TM) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -3, x2 = 5. a. Khi m = 1 thì (d) trở thành: y = 4x – 3 0,25 1,0đ Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 = 4x – 3 x2 – 4x + 3 = 0 Có a = 1, b = -4, c = 3 a + b + c = 1 – 4 + 3 = 0 0,25 Phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = 3 Với x = 1 thì y = 1, ta được A(1; 1) Với x = 3 thì y = 9, ta được B(3; 9) 0,25 Vậy với m = 1, (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt: A(1; 1), B(3; 9) 0,25 b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P và (d): Bài 2 2,0đ 1,0đ x2 = 2(m + 1) x – m2 – 2m x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m = 0 (*) Có ’ = [-(m + 1)]2 – (m2 + 2m) = m2 + 2m + 1 – m2 – 2m = 1 > 0 0,25 Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m Suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt (x1, y1) và (x2, y2) với mọi m. 2 2 0,25 Có (x1, y1) và (x2, y2) thuộc (P) nên y1 x1 , y2 x2 x1 x2 2m 2 Theo Vi-ét, ta có 2 x1x2 m 2m 2 2 2 0,25 Theo bài y1 + y2 = 10 x1 x2 10 (x1 x2 ) 2x1x2 10 (2m + 2)2 – 2(m2 + 2m) = 10 4m2 + 8m + 4 – 2m2 – 4m – 10 = 0
3. 2m2 + 4m – 6 = 0 m2 + 2m – 3 = 0 Có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: 0,25 m1 = 1, m2 = -3. Vậy m {-3; 1} a. 4x 3y 2 1,0đ Với m = 3, hệ trở thành 0,25 x 2y 3 4x 3y 2 5y 10 0,25 4x 8y 12 x 2y 3 y 2 y 2 0,25 x 2( 2) 3 x 1 Vậy với m = 3, hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (-1; -2) 0,25 b. (m 1)x 3y m 1 (1) 0,5đ x (m 1)y 3 (2) Bài 3 Từ (2) x = (m - 1)y + 3, thế vào (1) ta được: 1,5đ (m + 1)[ (m - 1)y + 3] - 3y = m - 1 0,25 (m2 - 1)y + 3m + 3 - 3y = m - 1 (m2 - 4)y = -2m - 4 (*) Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) ẩn y có nghiệm duy nhất m2 - 4 ≠ 0 m2 ≠ 4 m ≠ ±2. 2m 4 2(m 2) 2 0,25 Từ phương trình (*) y m2 4 (m 2)(m 2) m 2 2 2m 2 3m 6 m 4 x = m 1  3 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 m 4 2 Theo bài x + y = 1 1 m 2 m 2 m2 8m 16 4 m2 4m 4 4m 16 m 4 (TM) Vậy với m = 4, hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x2 + y2 = 1 Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là: Bài 4 S = 2πRh 0,25 0,5đ xq 96π = 2π.R.12 R = 4 cm.Vậy bán kính đường tròn đáy là 4 cm 0,25 B Bài 5 3,5đ E H D I A F O K C
4. a) a) Xét đường tròn (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến; B, C là tiếp 0,25 1,0đ điểm (gt) A· BO 900 , A· CO 900 (Tính chất tiếp tuyến) 0,25 B, C thuộc đường tròn đường kính AO (Quỹ tích cung chứa góc 0,25 900) Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO. 0,25 b) Ta có H là trung điểm của dây DE không qua tâm O nên OH  DE 1,0đ (Định lý đường kính vuông góc với dây cung) 0,25 A· HO 900 H thuộc đường tròn đường kính AO (Quỹ tích cung chứa góc 900) 0,25 Suy ra 5 điểm A, B, H, O, C thuộc đường tròn đường kính AO Xét đường tròn (O) có AB, AC là tiếp tuyến; B, C là tiếp điểm (gt) AB = AC (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 0,25 Xét đường tròn đường kính AO, có AB = AC A»B A»C(Định lí về liên hệ giữa dây và cung) Có A· HB là góc nội tiếp chắn A»B và A· HC là góc nội tiếp chắn A»C . Mà A»B A»C A· HB A· HC 0,25 Suy ra HA là phân giác của B· HC c) Có AB = AC A thuộc đường trung trực của BC; 1,0đ OB = OC O thuộc đường trung trực của BC; AO là đường trung trực của BC 0,25 AO  BC tại F A· FI 90 Xét AHO và AFI, có A· HO A· FI 90, Aµ chung AHO  AFI (g.g) 0,25 AH AO AH.AI AF.AO AF AI Xét ABO vuông tại B (Vì AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm của (O) nên AB  OB), có BF  AO tại F suy ra AB2 = AF.AO (Hệ 0,25 thức lượng trong tam giác vuông) AB2 = AI.AH (cùng bằng AF.AO) 0,25 d, Xét đường tròn đường kính AO có A· HB A· CB (Hai góc nội tiếp 0,5đ cùng chắn A»B) Xét đường tròn (O) có A· CB là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 0,25 chắn B»C ; B· KC là góc nội tiếp chắn B»C A· CB B· KC
5. A· HB B· KC. Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên AE//CK 0,25 4 4 x2 + y2 3 x2 + y2 3 (x y)2 x2 y2 2 4 + ( x2 +y2 )2 +2(x2 +y2) 3(x2 +y2) +6 0,25 ( x2 + y2)2 - 4(x2 +y2) + 4 +3( x2 +y2) - 6 0 Bài 6 0,5đ [(x2 + y2) -2]2 +3[x2 +y2 - 2xy] 0 [(x2 + y2) - 2]2 + 3(x - y)2 0 Luôn đúng với mọi x, y x2 y2 2 x y 1 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y x y 1