Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2012-2013 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2012-2013 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2012 – 2013   Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi : 15/3/2013 (Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)  Bài 1: (3,00 điểm) x2 x 2 Cho hàm số y .Tìm 2 điểm trên 2 nhánh của đồ thị mà tiếp tuyến tại 2 x 2 điểm đó song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất . Bài 2: (2,5 điểm) Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan2x + tan2x). Bài 3: (3,0 điểm) 2 x2 ln( 1 x2 x) 4ln( 1 x2 x) 2 Tính tích phân I dx 2 2 2 (4 x ) Bài 4: (2,5 điểm) x2 y2 3 3 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E): 1và (P): y = x2 x .Chứng minh 16 1 4 2 4 rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn . Bài 5:(3,0 điểm ) 12x 8 Giải bất phương trình 2x 4 2 2 x 16 9x2 Bài 6:( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V 1 , V lần lượt là thể tích của khối V chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số 1 V Bài 7: (3,0 điểm) 2 2 2 y y 4 (x y)(2x 2xy 2y 3) 6ln 2 Giải hệ phương trình x x 4 5 x y 3xy 1 0  HẾT  - Đề thi có 01 trang; - Giám thị không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN GIẢI : Bài 1: +Để ý : M( x; y) ∈(C) thì M'(x' = 4-x; y' = 10- y) ∈(C) và tiếp tuyến tại M và M' có hệ số góc bằng nhau nên // nhau , M và M' đxứng nhau qua I(2;5) 2 | a(x ' x) (y ' y) | 4 + Khoảng cách giũa 2 t : d = với a = 1- 2 , a2 1 (x 2) 16 16 thì d = ≤ ; x = 2± 8 16 2(x 2)2 8 4 8 8 (x 2)2 Bài 2: (2,5 điểm) Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan2x + tan2x).Chia 2 vế cho cos3x + T a có : Bài 3: (3,0 điểm) 2 ln( 1 x2 x) 2 1 Tính tích phân I 4 dx 2 2 2 2 4 x 0 (4 x ) 2 ln( 1 x2 x) 2 1 Đặt : I = Đặt t = - x và I = 4 dx Đặt : x = 2tant 1 2 2 2 2 2 4 x 0 (4 x ) Bài 4: (2,5 điểm) x2 y2 3 3 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E): 1và (P): y = x2 x .Chứng minh 16 1 4 2 4 rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn . x2 y2 1 16 1 +Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình : .Từ đây chứng minh được 3 3 9 y x2 x 4 2 4 x2 3 3 9 phương trình : f(x) = x2 x 1 0có 4 nghiệm bằng phương pháp dựa tính liên tục 16 4 2 4 của hàm số : f(a)f(b) < 0 . Hoặc (P) có đỉnh nằm ngoài (E) và cắt Ox tại 2 điểm nằm trong (- a;a) .a và -a là hai hoành độ 2 đỉnh của ( E). x2 y2 1 16 1 15 5 45 + Chuyển hệ thành : cộng theo vế : x2 + y2 + x y 1 0 là 5 15 15 45 10 4 16 y x2 x 4 16 10 16 phương trình của đường tròn (đpcm) Bài 5:(3,0 điểm ) Giải bất phương trình 12x 8 2x 4 2 2 x (3x 2)( 2x 4 2 2 x 16 9x2 ) 0 16 9x2
3. Xét f(x) = 2x 4 2 2 x 16 9x2 trên [ - 2 ; Bài 6:( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V 1 , V lần lượt là thể tích của khối V chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số 1 V S .S SI SM 2 SM 2.S SI SN 2 SN + SIM . và SIN . SSBO SO SB 3 SB SSBO SO SD 3 SD S SM SN 1 SM SN SMN . ( ) K SSBD SB SD 3 SB SD V 1 SM SN M + Mà : 1 ( ) N I V 4 SB SD SB SD C B + Đặt : x ; y SM SN O 1 1 1 1 + Ta có : ( ) x + y = 3 D A xy 3 x y 3 1 V 3 + Xét hàm số : f(x) = và 1 ≤ x ≤ 2 đi đến KQ: 1 4x(3 x) 3 V 8 Bài 7: (3,0 điểm) 2x3 3x 6ln( 4 x2 x) 2y3 3y 6ln( 4 y2 y) hệ phương trình 5 x y 3xy 1 0 + Xét hàm số : f(x) = 2t3 3t 6ln( 4 t 2 t) trên R . 1 + f '(x) = 6.t2 -3 + 6. Đặt : u = t 2 4 ≥ 2 , ta có : t 2 4 6 6 6 g(u) = 6(u2 - 4) + -3 trên [ 2 ; +∞) , g'(u) = 12u - = (2u3 1) > 0 , ∀u≥2 u u2 u g(u) ĐB /[2; +∞) , mà g(2) = 0 nên g(u) ≥ 0 , ∀u≥2.Hay f'(x) ≥ 0, ∀t f(x) đồng biến trên R 6 2 2 x = y x - 3x - 1 = 0 ; ta có : x = 2cos∝ từ đó giải , vì x thuộc [ 1;2]