Một số dạng phương trình - Hệ phương trình thường gặp

Nội dung text: Một số dạng phương trình - Hệ phương trình thường gặp

1. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRèNH- HỆ PHƯƠNG TRèNH THƯỜNG GẶP 2 DẠNG 1: Hàm số y = t + t. Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh x2 15 3x2 2x 5 Phương phỏp giải : Đặt y = x2 15 , ta cú : y2 y (2x 1)2 2x 1 . cos2x 2 Vớ dụ 2 : Giải phương trỡnh 3t anx 1 cosx x2 y y2 x Vớ dụ 3 : Giải hệ phương trỡnh x y x 1 2 2 x y 3 DẠNG 2: HÀM SỐ y = t + t. Vớ dụ 1: 1.Giải phương trỡnh 3 3x 5 8x3 36x2 53x 25 3 3 2.Giải phương trỡnh x 1 2. 2x 1 3 2 2 3 3 3.Giải phương trỡnh 2x 10x 17x 8 2x . 5x x Phương phỏp giải : Để ý hàm số chứa 2 lũy thừa 3 và 1 , nờn :8x3 36x2 53x 25=(2x-3)3-x+2 = (2x-3)3+ (2x-3) - (3x-5) là dạng hàm số đó cho.Từ đú đi đến (2x-3)3+ (2x-3) = (3x-5) + 3 3x 5 Cũn ý 2 thỡ sao : Phõn tớch x3 + 1 = x3 - (2x-1) + 2x = 2 3 2x 1 Hay x3 + 2x = (2x-1) + 2 3 2x 1 Cỏc bạn cú thể tự mỡnh phõn tớch một số bài rồi sẽ thấy qui luật nào nhộ. Cũn bài 3 thỡ sao . Hóy nhỡn vào hạng tử chứa căn bậc 3 .vậy thỡ sao? Tức là chia rồi và chia cho bao nhiờu và khi nào chia được ,từ những ý tưởng như vậy . 2 3 2 5 5 3 3 Ta lập tức , viết lại : y 2y 1 2 1 2 1 2. 2 1 x x x x
2. x x 8 2 x Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 9 3 3 ỡ 5 4 10 6 ù x + xy = y + y Vớ dụ 3:Giải hệ phương trỡnh : ớù ù 2 ợù 4x + 5 + y + 8 = 6 ỡ 3 2 3 ù x - 6x + 12x = y + y + 10 Vớ dụ 4 : Giải hệ phương trỡnh : ớ ù 3 2 ợù 2x+y + 5 - 3- x- y = x - 3x - 10y + 6 DẠNG 3 : Biểu thức đẳng cấp ma2+nab + lb2 = 0 hoặc ma2+nab + lb2 = e(a-∝b) với ∝ là 1nghiệm của phương trỡnh : ma2+nab + lb2 = 0. Giải phương trỡnh : 2a2-5ab +2b2 = 0 (2a-b)(a-2b) = 0 a =1/2 b hoặc a = 2b Vớ dụ 1 : Giải phương trỡnh 12+ 12x = 3 2 x + 2 x + 6 4 x2 Giải phương trỡnh 4 x 1 1 3x 2 1 x 1 x2 Giải phương trỡnh : (4x 1) x2 1 2x2 2x 1 Giải phương trỡnh : (4x 1) x3 1 2x3 2x 1 a 2 x a 1 x Phương phỏp giải :1/ ; 2/ b 2 x b 1 x 1 1 a 1 x2 3/ (4x 1) x2 1 2x2 2x 1 2(x2 1) (4x 1) ,nếu 2 2 b 4x 1 ta cú : a.b =2 a2+1/2b - 1/2 đi đến : a = 1/2 và b = 2a + 1 1 1 a 1 x3 4/3/ (4x 1) x3 1 2x3 2x 1 2(x3 1) (4x 1) ,nếu 2 2 b 4x 1 ta cú : a.b =2 a2+1/2b - 1/2 đi đến : a = 1/2 và b = 2a + 1 Khi cú hạng tử ax +b trong phương trỡnh thỡ nhớ phõn tớch ax +b = A(1+x)+B(1-x) thỡ sẽ về dạng : ma2+nab + lb2 = e(a-∝b) Vớ dụ2 : Giải phương trỡnh 5.25x + 2.4x = 7.10x
3. Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh 3 sin2x - ( 3 +1). sinx.cosx - cos2x = 0 Vớ dụ 4: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm thực: 3 x 1 m x 1 24 x2 1 Giải: Cú thể thấy phương trỡnh cú dạng đẳng cấp bậc hai. Với điều kiện x 1, chia hai vế cho x 1 > 0 ta được phương trỡnh tương đương: 3 x 1 m 24 x 1 Đặt t 4 x 1 41 2 , ta cú 0 t < 1. x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 Phương trỡnh trờn trở thành: 3t + m = 2t m = -3t + 2t (*) DẠNG4 : HÀM SỐ y = loga f(x) + g(t) . 1 2x 1 1 Vớ dụ 1:Giải phương trỡnh log (x 2) x 3 log (1 )2 2 x 2 2 2 2 x x x Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 3 1 x log3 (1 2x) x x Đưa phương trỡnh về dạng 3 log3 3 1 2x log3 (1 2x) x Giải phương trỡnh 3 2x 4 log3 (4 x) (x y)3 2 3(x y) vớ dụ 3: Giải hệ phương trỡnh : x4 y4 x2 y2 7(x y) x 3 ln( ) 0 64 32 8 y 3 3 + s inx + cosx Vớ dụ 4 : Giải phương trỡnh :s inx + cosx - s inx.cosx = 1+ ln 4 + s inx.cosx ln(1 x) ln(1 y) x y Vớ dụ 5 : Giải hệ phương trỡnh 2 2 3x 10xy 3y 0
4. 2 x y 1 2 x y 2 x y 1 1 4 .5 1 2 Vớ dụ 6 :Giải hệ phương trình : 3 2 y 4x 1 ln y 2x 0 Giải . ĐK: y2 2x 0 Đặt t 2x y thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành : t t 1 t 1 t t 1 1 4 1 2 1 4 .5 1 2 t (1) 5 5 Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến trên nên t=1 là nghiệm duy nhất của (1). y 1 Vậy 2x y 1 x thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 2 y3 2y 3 ln y2 y 1 0 2 Vế trái là hàm đồng biến do đó y =-1 là nghiệm duy nhất của (2). Đáp số : x 0, y 1 . x3 3x 3 ln x2 x 1 y 3 2 Vớ dụ 7 : Giải hệ phương trình : y 3y 3 ln y y 1 z 3 2 z 3z 3 ln z z 1 x Giải : Xét hàm số : f t t3 3t 3 ln t2 t 1 2t2 1 Ta có : f' t 3t2 1 0, x R t2 t 1 Vậy hàm số f t đồng biến trên R. Ta viết lại hệ phương trình như sau : f x y f y z f z x
5. Không mất tính tổng quát, giả sử : x min x, y, z. Lúc đó : x y f x f y y z f y f z z x . Hay : x y z x x y z Với : x y z , xét phương trình : x3 2x 3 ln x2 x 1 0 Do hàm số : x x3 2x 3 ln x2 x 1 đồng biến trên R nên pt có nghiệm duy nhất : x 1 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x y z 1. DẠNG : HÀM SỐ y = af(t) + g(t) 8 2 Vớ dụ 1 : Giải phương trỡnh 2x x x2 2x 3 2x 1 x2 1 2x 2 2 1 1 Vớ dụ 2 : Giải phương trỡnh 2 x 2 x 2 x ỡ 2 y- 1 ù x + x - 2x + 2 = 3 + 1 Vớ dụ 3 : Giải hệ phương trỡnh ớù ù 2 x- 1 ợù y + y - 2y + 2 = 3 + 1 DẠNG 6 : Giải bằng phương phỏp thế Tức là hệ gồm một phương trỡnh bậc nhất và một phương trỡnh bậc 2 hoặc 3 Vớ dụ1 : Giải phương trỡnh 2.3 3x 2 3 6 5x 8 .ta cú : 2a + 3b = 8 Chỉ cần một bước phõn tớch này thụi la cú cỏch giải 8 = A(3x-2)+B(6-5x) = 5(3x-2)+3(6-5x) 2 8 2a = 5a2 + 3b2, ta cú phương trỡnh : 5.a3 + 3. = 8 3 7x y 2x y 5 Vớ dụ 2 : Giải hệ phương trỡnh 2x y x y 2
6. Giải : ĐK có nghĩa của hệ phương trình : min 7x,2x y Đặt : 7x y a và 2x y b . Từ hệ phương trình đã cho ta có hệ : a b 5 1 b x y 2 2 5 x Nhận thấy : a2 b2 5x . Kết hợp với (1) suy ra : b , thế vào (2) ta được : 2 5 x x y 2 x 2y 1 3 2 11 77 Thế (3) vào (2) ta có : 5y 2 y 1 2 y 2 11 77 Thế vào (3) suy ra nghiệm của hệ là: x 10 77, y . 2 Vớ dụ1 : Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm : m( 1 x2 1 x2 2) 2 1 x4 1 x2 1 x2 1 1 (1) x y Vớ dụ 2 :Giải hệ phương trỡnh : x y 3 (2) 2y x 1