Bài giảng môn Toán hình Lớp 12 - Bài 2: Khối đa diện lồi – khối đa diện đều

Nội dung text: Bài giảng môn Toán hình Lớp 12 - Bài 2: Khối đa diện lồi – khối đa diện đều

1. § 2 A B D C
2. Kiểm tra bài cũ C©u hái 1: nªu c¸c kh¸i niÖm h×nh ®a diÖn vµ khèi ®a diÖn? LÊy vÝ dô. Tr¶ lêi Lµ h×nh ®îc t¹o bëi mét sè h÷u h¹n c¸c ®a gi¸c tho¶ m·n 2 tÝnh chÊt: - Hai ®a gi¸c bÊt k× chØ cã thÓ hoÆc kh«ng cã ®iÓm chung, hoÆc cã mét ®Ønh chung, hoÆc cã mét c¹nh chung. - Mçi c¹nh cña ®a gi¸c nµo còng lµ c¹nh chung cña ®óng 2 ®a gi¸c. vÝ dô: C S B D A F E A C' E B B' A' D' D C F' E'
3. CH2: Thế nào là một đa giác lồi? CH 3 Lấy một số ví dụ về đa giác lồi? TL 2 Đa giác lồi là đa giác mà đường thẳng đi qua một cạnh bất kì luôn chia mặt phẳng thành hai nửa, một nửa chưa toàn bộ đa giác TL 3:Các đa giác lồi như hình vuông, hình chữ nhật, hình lục giác đều Các hình sau không phải là đa giác lồi:
4. I. KHỐI ĐA DIỆN Định nghĩa:Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi L I Ồ nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp, khối chóp
5. Người ta chứng minh được rằng các khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa mặt của nó. A B D C
6. 1 Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thức tế. Hình hộp là đa diện lồi Chữ T là khối đa diện không lồi
7. A Quan sát khối tứ diện đều ABCD Ta thấy các mặt của nó là các tam giác đều, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng ba mặt. B D C Quan sát khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ A D Ta thấy các mặt của nó là hình C B vuông, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng ba mặt. A’ D’ B’ C’
8. {3; 3} {4;3} Khèi tø diÖn ®Òu Khèi lËp phương
9. Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất sau đây : a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p;q}. Định lý Chỉ có năm loại đa diện đều. Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3}, loại {3;5}. A 2 HĐ2: Đếm số đỉnh và số cạnh của khối bát diện đều. E D B TL: Có 6 đỉnh và 12 cạnh C F
10. Một số khối đa diện đều Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt {3;3} Tứ diện đều 4 6 4 8 12 6 {4;3} Lập phương B {3;4} Bát diện đều 6 12 8 {5;3} Mười hai mặt đều 20 30 12 Loại {3;3} có 4 đỉnh, 6 cạnh và 4 mặt {3;5} Hai mươi mặt đều 12 30 20 Loại {4;3} có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt Loại {3;5} có 12 đỉnh, 30 cạnh, và 20 mặt Loại {5;3}, có 20 đỉnh, 30 cạnh và 12 mặt Loại {3;4} có 6 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt
11. K§D §Ønh M1 M2 M3 M4 M5 M6 Më mÆt 6 B C X1 A D X2 X3 X4 B’ C’ X5 A’ D’ X6 Tªn Lo¹i {4; 3} cßn gäi lµ khèi lËp ph¬ng Khèi ®a diÖn
12. Khèi ®a diÖn §Ønh M1 M2 M3 M4 TÖn ®a diÖn Lo¹i {3; 3} cßn gäi lµ tø diÖn ®Òu X1 A X2 X3 X4 D B Quay l¹i C
13. Chứng minh rằng: a) Trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều là đỉnh của một hình bát diện đều b) Tâm các mặt hình lập phương là các đỉnh của một bát diện đều. Bài Giải a) Cho tứ diện ABCD,cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M, và N lần lượt C là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA I 3 *)Xét tam giác IEF: Có IF, EF, IE là đường trung bình của tam giác đều CAB nên A IF=FE=IE= nêna tam giác FIE đều. 2 *)Tương tự các tam giác FIM, IMN, M F INE, JEF, JFM, JMN và JNE là các tam E a giác đều cạnh bằng N 2 *) Tám tam giác đều trên tạo thành một đa diện có các đỉnh I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh D chung của đúng bốn tam giác đều. Do đó đa diện J B ấy là đa diện loại {3;4}, tức là hình bát diện đều. Hình 1.22 a
14. b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. D C *)Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập I phương nên có 6 mặt là các hình A vuông. Do đó các đường chéo của B chúng b ng nhau, t c là 4 ằ ứ AC=AB=AD’=B’D’=B’C=CD’. M F V y AB’CD’ là m t t di n đ u. N ậ ộ ứ ệ ề E *) áp dụng định lý pitago ta có a 2 D’ C’ AC=AB=AD’=B’D’=B’C=CD’= J A’ B’ *) Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’ và DAA’D’ của hình lập phương. Và sáu điểm trên lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, B’D’, AB’, CD’ và D’A của tứ diện đều AB’CD’ nên theo câu a) sáu điểm đó là các đỉnh của hình bát diện đều.
15. Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh BÀI 2 là tâm các mặt của (H). Tính tỷ số diện tích toàn phần của (H) và (H’) Hình lập phương có bao nhiêu mặt? D C Và các mặt là hình gì? I Hình lập phương có 6 mặt và các A mặt là các hình vuông bằng nhau. B M Hình bát diện có bao nhiêu mặt N F và các mặt là hình gì? E Hình bát diện có 8 mặt và D’ C’ các mặt là các tam giác đều bằng nhau. J Như vậy để tính diện tích toàn A’ B’ phần của các hình này ta chỉ cần tính diện tích của một mặt bất kì Giả sử hình lập phương có cạnh là a. Tính CD’ ? a 2 2
16. BÀI 2 Bài giải D C I Đặt a là độ dài cạnh của hình lập A phương (H), khi đó độ dài cạnh hình B a 2 M bát diện đều (H’) là N F . 2 E 2 a D’ Diện tích mỗi mặt (H) là ; C’ Diện tích mỗi mặt (H’) bằng J 2 1 a 2 3 a2 3 A’ B’ . = 2 2 2 8 2 Diện tích toàn phần của (H) là 6. a 2 6a2 a 3 2 = 2 3 Diện tích toàn phần của (H’) bằng 8. = aa2 3 3 8 Vậy tỷ số diện tích toàn phần của (H) và (H’) là:
17. BÀI 3 Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. A *) Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là tâm các tam giác ACD, BCD, ABC và ABD. G4 ?1.Có nhận xét gì về các điểm G1, G2, G3, G4? G3 G1 D Các điểm G1, G2, G3, G4 không đồng B phẳng và lần lượt là trọng tâm của các tam G2 giác đều ACD, BCD, ABC và ABD. C A ?2. Dựa vào hình H1 hãy tính độ dài G1G2? G1G2 // AB G1 MG1 MG2 1 a = = AB G1G2 = MA MB 3 G1G2 = 2 B D 3 G2 M Hình H1 C
18. BÀI 3 Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. A Bài giải *) Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là tâm các tam G4 giác ACD, BCD, ABC và ABD. G3 G1 *) Nhận thấy G1, G2, G3, G4 là D trọng tâm của các tam giác trên. B Gọi M là trung điểm của CD. Ta G2 có G1G2=AB/3=a/3 C A *) Tương tự như vậy ta có G2G3=G3G4=G4G1=G1G2=a/3 Và 4 điểm này không đồng G1 phẳng cho nên chúng tạo thành một tứ diện đều cạnh bằng a/3 B D G2 (đpcm) M C
19. Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng : BÀI 4 a) Các đoạn thẳng AF, BD và CD đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông. A B1. Chứng minh bốn điểm B, C, E, D đồng phẳng và bốn điểm A, E, F, C đồng phẳng. B2. Chứng minh AEFC và ACDE là các hình thoi. E O D B C F
20. BÀI 4 BÀI GIẢI a) Do B, C, D, E cách đều A và F nên chúng thuộc mặt phẳng A trung trực của đoạn thẳng AF. Tương tự A, B, F, D cùng thuộc một mặt phẳng và A, E, F, C cũng cùng thuộc một mặt phẳng. *)Gọi O là giao điểm của AF và mặt phẳng (BEDC). Ta nhận thấy ba điểm B, O, E là điểm chung của hai mặt phẳng (BEDC) và (ABFD) nên E chúng thẳng hàng. Tương tự E, O, C thẳng hàng. O D Do đó AF, BD, EC đ ng quy. ồ B C *) Mặt khác ta có AEFC là hình thoi nên AF và EC vuông góc vói nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự ABFD là hình thoi và BEDC cũng là hình thoi nên các cặp (AF và BD) và (BD và EC) vuông góc vói nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi F đường. Vậy AF, EC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường b) Do AO ⊥ (BEDC) và AE=AB=AC=AD nên OE=OB=OC=OD do đó BCED là hình vuông. Tương tự ABFD và AEFC là các hình vuông
21. 1)Học định nghĩa, định lý 2)Làm các bài tập trong sách bài tập. 3)Xem lại các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác chuẩn bị bài tiếp theo