Bài giảng Toán hình Lớp 12 - Hệ tọa đô trong không gian - Trần Trọng Tiến

Nội dung text: Bài giảng Toán hình Lớp 12 - Hệ tọa đô trong không gian - Trần Trọng Tiến

1. Hệ toạ độ trong không gian Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến
2. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ 1. Hệ toạ độ Trong không gian, cho ba trục x’Ox, z y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một. Gọi i , j , k lần lợt là các véctơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. − k − − j Hệ gồm ba trục nh vậy đợc gọi là hệ trục i toạ độ Đề – Các vuông góc Oxyz trong O y không gian, hay đơn giản hơn gọi là hệ x toạ độ Oxyz. Vì i , j , k đôi một vuông Điểm O đợc gọi là gốc toạ độ. góc nên: − − − − − − Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi i . j = 0, j . k = 0, k . i = 0 một vuông góc với nhau đợc gọi là các − − − mặt phẳng toạ độ. i = 1, j = 1, k = 1 Không gian toạ độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
3. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ 1. Hệ toạ độ Hoạt động 1. Trong không gian Oxyz cho z M M’’ điểm M. Hãy phân tích véctơ OM theo ba 3 M’’’ vectơ không đồng phẳng i , j , k đã cho M trên các trục Ox, Oy, Oz. − k − Giải − j M i 2 y Dựng hình hộp OM1M’M2.M3M’’’MM’’ x O M1 M’ Khi đó OM1 , OM2, OM3 cùng phơng với các vectơ i , j , k . Khi đó ta có −−− −−− −−− OM = OM'+ OM3 −−− −−− −−− = OM1 + OM2 + OM3 − − − = x i + y j + z k
4. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ 2. Toạ độ của điểm z Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ M ý. Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng 3 M M’’’ 2 nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao M cho − −−− − − − k − OM = x i + y j + z k − j i M’’ Ngợc lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có x O y M M’ duy nhất một điểm M trong không 1 gian thoả mãn hệ thức Từ định nghĩa ta suy ra toạ độ hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz và các mặt phẳng toạ độ (0xy). (0yz), (0xz) Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và là các điểm M1(x; 0; 0), M2(0; viết: y; 0), M3(0; 0; z), M’(x;y;0) , M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z). M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
5. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ 2. Toạ độ của một điểm −−− − − − OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 3. Toạ độ của vectơ − a Trong không gian Oxyz cho a . Khi đó z tồn tại duy nhất một bộ ba số (a1; a2; a3) M3 − − − − M2 a = a i + a j + a k M’’’ 1 2 3 M − Ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3) đó là toạ độ k − của vec tơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho − j i M’’ trớc và viết a = (a1; a2; a3) hoặc O y a(a1;a2;a3). x M1 M’ Nhận xét. Trong toạ độ Oxyz, toạ độ điểm M chính là toạ độ của vec tơ OM. Ta có M=(x; y; z)  OM = (x; y; z)
6. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ 2. Toạ độ của một điểm −−− − − − OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z). 3. Toạ độ của vectơ. − − − − − a = a i + a j + a k a = (a ;a ;a ) 1 2 3 1 2 3 z Hoạt động 2. Trong toạ độ Oxyz, cho hình A’ M D’ hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A B’ trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ C’ tự cùng hớng với i , j , k có AB=a, AD = b, c AA’ = c. Hãy tính toạ độ các véctơ AB , b D AC, AC’ và AM với M là trung điểm cạnh a C’D’. x A y Giải B C −−− − −−− AB = a i AB = (a; 0; 0) −−− −−− −−− − − −−− AC = AB + AD = a i + b j AC = (a; b; 0) −−− −−− −−− −−− − − − −−− AC' = AB + AD+ AA' = a i + b j + c k AC' = (a; b; c) −−− 1 −−− −−− 1 − − − − − −−− 1 AM = (AC'+ AD') = (a i + b j + c k + b j + c k ) AM = (a; 2b; 2c) 2 2 2
7. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ −−− − − − − − − − OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) k. a = k a i + a j + a k − − − − − 1 2 3 − − − a = a1 i + a2 j + a3 k a = (a1;a2;a3 ) = ka 1 i + ka 2 j + ka 3 k II. BTTĐ của các phép toán vectơ. − k a = (ka 1; ka 2; ka 3 ) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ − − a = (a1; a2; a3 ), b = (b1; b2; b3 ) − − a) a b = (a1 b1; a2 b2; a3 b3 ) − b) k a = (ka 1; ka 2; ka 3 ), k R Chứng minh − − − − a = a1 i + a2 j + a3 k − − − − b = b1 i + b2 j + b3 k − − − − − a b = (a1 b1 ) i + (a2 b2 ) j + (a3 b3 ) k − − a b = (a1 b1; a2 b2; a3 b3 )
8. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ Ví dụ 1. Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) −−− − − − OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) và C(4;-1;3). Tìm toạ độ điểm D − − − − − sao cho ABCD là hình bình hành. a = a1 i + a2 j + a3 k a = (a1;a2;a3 ) Giải II. BTTĐ của các phép toán vectơ. Do ABCD là hình bình hành khi đó ta có: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ B C − − −−− −−− a = (a ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) CD = BA 1 2 3 1 2 3 A D a = b 1 1 x − x = x − x − − − D C A B a) a = b = a = b ; b) 0 = (0; 0; 0) 2 2 y − y = y − y D C A B a3 = b3 z D − zC = z A − zB c) a và b cùng phơng khi và chỉ khi a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3 xD = xA − xB + xC = 1 − 3 + 4 = 2 −−− y − y = y − y + y = 3 + 2 − 1 = 4 d) AB = (xB − xA;yB − y A ;zB − z A ) D C A B C e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi z D − zC = z A − zB + zC = 2 − 1 + 3 = 4 x + x y + y z + z M = A B ; A B ; A B Vậy D = (2; 4; 4) 2 2 2
9. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ Ví dụ 2. −−− − − − OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) − − − − − Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và a = a1 i + a2 j + a3 k a = (a1;a2;a3 ) C(7/4; 0; 5/4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. II. BTTĐ của các phép toán vectơ. Giải −−− 7 2 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ AB = 0 − 1; − 1; − 1 − − 3 3 a = (a1; a2; a3 ), b = (b1; b2; b3 ) 4 1 = − 1; ; − a1 = b1 3 3 − − − a) a = b = a = b ; b) 0 = (0; 0; 0) −−− 7 5 2 2 AC = − 1; 0 − 1; − 1 4 4 a3 = b3 c) a và b cùng phơng khi và chỉ khi 3 1 = ; −1; a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3 4 4 −−− −−− 4 −−− d) AB = (xB − xA;yB − y A ;zB − z A ) AB = − AC 3 e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi x + x y + y z + z => AB , AC cùng phơng hay A, M = A B ; A B ; A B B, C thẳng hàng. 2 2 2
10. Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ của điểm và của véctơ Ví dụ 3. Cho A(1; 3; 2), M(3;-2;1) −−− − − − OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) . Tìm toạ độ điểm B sao cho A, B − − − − − đối xứng nhau qua điểm M. a = a1 i + a2 j + a3 k a = (a1;a2;a3 ) II. BTTĐ của các phép toán vectơ. Giải Trong không gian Oxyz cho hai vectơ Do A và B đối xứng nhau qua M − − a = (a ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) nên M là trung điểm AB, nên ta 1 2 3 1 2 3 có a1 = b1 − − − a) a = b = a2 = b2; b) 0 = (0; 0; 0) a3 = b3 xB = 2xM − xA = 2.3 − 1 = 5 c) a và b cùng phơng khi và chỉ khi a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3 y B = 2y M − y A = 2.(−2) − 3 = −7 −−− z = 2z − z = 2.1 − 2 = 0 d) AB = (xB − xA;yB − y A ;zB − z A ) B M A e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) x + x y + y z + z M = A B ; A B ; A B 2 2 2
11. Củng cố Qua bài học học sinh cần nắm đợc 1. Hệ toạ độ trong không gian. 2. Toạ độ của vectơ. 3. Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu của một điểm trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ. 4. Các phép toán về vectơ. 5. Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phơng pháp tìm toạ độ của một điểm qua phép đối xứng tâm.