Bài giảng Toán số Lớp 12 - Bài 3: Giá trị lớn nhất , Giá trị nhỏ nhất của hàm số - Phạm Quốc Khánh

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Bài 3: Giá trị lớn nhất , Giá trị nhỏ nhất của hàm số - Phạm Quốc Khánh

1. Bài 3 : Giáo viên : Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT
2. I - ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D , nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M kí hiệu : M = max f(x) D b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D , nếu f(x) ≥ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m kí hiệu : m = min f(x) D 1 Ví dụ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : yx= −5 + x trên khoảng ( 0 ; + ∞) 2 11x − 2 Giải : Trên (0 ; + ∞) có : y '1= − = ;y '= 0 x − 1 = 0 x = 1 xx22 Bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên trên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có x 0 1 + ∞ giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số 0 y’ − + Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1) (0 ; + ∞) + ∞ + ∞ Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; + ∞) y -1
3. II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Đặt vấn đề : Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số : x +1 a) y = x2 trên [-3 ; 0] b) y = trên [3 ; 5] x −1 2 x +1 a) y = x trên [-3 ; 0] by) = trên [3 ; 5] x −1 Giải : Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x −2 Trên [3 ; 5]) có : y’ = 2 y’ < 0 và y’ = 0 x = 0 ( x −1) Bảng biến thiên : Bảng biến thiên : x 5 x -3 0 3 y’ − − 0 y’ − − 9 2 y y 0 3/2 3 maxy = 9 miny = 0 y  / 3;5 maxy = 2 min y = y −/ 3;0 3;5 −3;0 −3;0 3;5 2
4. 1. Định lý : Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó . Thừa nhận định lý này Ví dụ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin x trên 7 ab) ; ) ;2 6 6 6 Giải : a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn ;2 Tính các giá trị hàm số 6 y 7 Trên D = ; Có : 1 − 66 1 7 1 71 2 6 y = y =1 y =− 62 2 62 | | | | | | O 3 x 1 2 Từ đó có : − 6 2 2 1 2 maxy = 1 min y =− D D 2 -1 − 3 y 20 = b) Tương tự xét trên E = ;2 Có : y =−1 ( ) 6 2 maxy = 1 miny =− 1 E E
5. 2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn −x2 +2 neu − 2 x 1 Cho hàm số : y = x neu13 x Có đồ thị như hình vẽ . Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2 ; 3] và nêu cách tính . maxy = 3 miny =− 2 y −2;3 −2;3 3 Nêu cách tính y(−22) = − 2 y(02) = 1 y(11) = y 33= | | | | ( ) -1 -2 O 1 2 3 x -1 Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 ) -2
6. QUY TẮC : 1) Tìm các điểm x1 ; x2 ; xj trên khoảng (a ; b) tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định 2) Tìm f(a) ; f(x1) ; f(x2) ; ; f(xj) ; f(b) 3) Tìm số lớn nhất M ; số nhò nhất m các số trên và có M= max f( x) m= min f( x) ab;  ab;  Chú ý : Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 1 nhất trên khoảng đó . Ví dụ : fx( ) = x Không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng ( 0 ; 1) Tuy nhiên cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 1 khoảng như ví dụ sau : Ví dụ 3 . Cho tấm tôn nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau , rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất .
7. a a Giải : Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt bỏ 0 x 2 2 a Thể tích khối hộp là : V( x) = x( a −20 x) x 2 a sao cho V(x ) có giá trị lớn nhất . Ta phải tìm x0 0; 0 2 a a Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) và trên 0; ; V’(x) = 0 x = 2 6 Bảng biến thiên : a a x 0 6 2 Hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất . V’(x) + 0 ─ 2a3 2a3 max Vx( ) = a 27 0; V(x) 27 2 0 0
8. 1 *Ví dụ . Lập bảng biến thiên của hàm số fx( ) =− 1+ x2 Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định 2x Giải : Hàm số xác định với mọi x R ; fx'( ) = 2 ( x2 +1) f’ (x)= 0 x = 0 Bảng biến thiên : x - ∞ 0 +∞ Vậy hàm số : 0 f’ ─ + minfx( ) =− 1 x = 0 R 0 0 f −1 Bài trắc nghiệm : Giá trị lớn nhất của hàm số : y = x4 - 3x2 + 2 trên đọan [ 0 ; 3 ] A 16 B 26 C 36 D 56 Bài tập về nhà : Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 23 và 24 sgk GiẢI TÍCH 12