Bài giảng Toán số Lớp 12 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. 1. Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x) i) Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm số lẻ,hàm số tuần hoàn) ii) Sự biến thiên: 1) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có ) 2) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ ) 3) Lập BBT xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến 4) Cực trị ( nếu có ) 5)Điểm uốn có hoành độ là nghiệm của đạo hàm cấp 2 iii) Đồ thị: • Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục hoành các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.
2. 2. Hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d (a 0) Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y= 2x3-3x2+1 Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2 Giải: 1)TXĐ: D=R 2) Sự biến thiên: a) Giới hạn: limyy= + , lim = − xx→+ →− •Đồ thị không có tiệm cận b) Chiều biến thiên y’ = 6x2-6x, y’=0 x=0 hoặc x=1. y’ >0 trên (- ;0) và (1; + ), y’ <0 trên (0;1) c) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=1, cực tiểu tại x=1;yCT=0.
3. d)Bảng biến thiên x - 0 1 + y’ + 0 - 0 + y - 1 0 + e) điểm uốn • y’’=12x-6 ,y’’=0 x= 1/2 Điểm uốn I(1/2;1/2) 3) Đồ thị: y=0 (x-1)2 (2x+1)=0 x=1 , x=-1/2. x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với trục hoành và.(0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung.
4. 6 5 4 3 2 1 1/2 I -6 -4 -2 -1/2 1/2 1 2 4 6 -1 -2 -3 -4
5. Chú ý 1: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Thật vậy: 11 Tịnh tiến hệ trục toa độ theo véctơ: OI , với I; 1 22 xX=+ 2 1 yY=+ 2 32 3 2 1 1 1 •y =2x -3x +1 Y+ = 2 X + − 3 X + + 1 2 2 2 3 Y=− 2X32 X là hàm số lẻ trên R nên đò thị hàm số này nhận điểm2 I làm tâm đối xứng. Chú ý 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn có phương trình: 3 1 1 35 yx= − − + yx = − + 2 2 2 24
6. Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2 Giải:1)TXĐ :R 2)Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y’ = -3(x2-2x+1) = -3(x-1)2 y’ ≤ 0 dấu ‘= ‘ xảy ra khi x=1 hàm số nghịch biến trên R. b) Cực trị: Hàm số không có cực trị c) Giới hạn: limyy= − , lim = + xx→+ →− Đồ thị hàm số không có tiệm cận d)Bảng biến thiên x - 1 + y’ - 0 - y + -
7. e) điểm uốn y’’=-6(x-1) ,y’’=0 x=1 Đ.uốn I(1;1) 3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0) Giao điểm với trục Oy: (0;2) Chú ý: Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1
8. y 8 6 4 2 -10 -5 1 2 5 10 x -2 -4 -6 -8
9. Tóm tắt: y =ax3+bx2+cx+d (a 0) •Tập xác định R. •Đồ thị luôn có 1 điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. (Chứng minh xem như bài tập) •y’= 3ax2+2bx+c . •Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau: 12 10 a>0 10 a<0 8 8 6 6 4 4 2 2 -10 -5 5 10 -2 -10 -5 5 10 -2 -4 -4 -6
10. •Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến tại điểm uốn cùng phương với trục hoành. Đồ thị có dạng sau: 8 8 6 6 4 4 2 2 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Nếu y’ =0 vô nghiệm, hàm số đơn điệu. Đồ thị có dạng sau: 8 8 6 6 4 4 2 2 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8
11. Nhận Xét: y=ax3+bx2+cx+d (a 0) 1)Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu: A(xCT,yCT), B(xCĐ,yCĐ) thì chia y cho y’ ta có : y = y’(ux+v) + αx+β yCT= αxCT+β và yCĐ= αxCĐ+β. Do đó, y = αx+β là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. 2) Số giao điểm của đồ thị và trục hoành: (bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y =0). Số nghiệm Hàm số 1 •Đơn điệu •yCĐ.yCT > 0 2 yCĐ.yCT =0 3 yCĐ.yCT < 0
12. 2) Hàm số y =ax4+bx2+c (a 0) Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y= x4-2x2-3 1) Tập xác định: D=R, hàm số chẳn 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y’=4x3-4x , y’ = 0 x=-1,x=0,x=1 •y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+ ) , y’ < 0 trên (0;1) và (- ;-1) b) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1,yCT = -4 và đạt cực đai tại x = 0 ,yCĐ = -3. c) Giới hạn: 23 lim= limx4 (1 − − ) = + xx→ → xx24 •Đồ thị không có tiệm cận: hambac4.gsp
13. d) Bảng Biến Thiên: x - -1 0 1 + y’ - 0 + 0 - 0 + y + -3 + -4 -4 e) Tính lồi lõm , điểm uốn: 3 y’’=12x2-4 , y’’ = 0 x = 3 3 3 − x - 3 3 + y’’ + 0 - 0 + ĐT lõm Đ.uốn lồi Đ.uốn lõm 3 3 (− ;-32/9) ( ;-32/9) 3 3
14. 3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại (0;-3) . ĐT cắt Ox tai hai điểm (− 3;0)and ( 3;0) 8 6 4 y=ax4+bx2+c 2 -10 -5 5 10 -2 -4 -6 -8
15. x4 3 Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: yx= − −2 + 22 Giải: 1)TXĐ : D=R , hàm số chẳn. 2)Sự biến thiên: a)Chiều biến thiên: y’=-2x3-2x=-2x(x2+1)=0 x=0. Y’ > 0 trên (- ;0) , y’ < 0 trên (0;+ ) b) Cực trị: Điểm cực đại x = 0; yCĐ=3/2. 1 1 3 c) Giới hạn: lim= lim −x4 ( + − ) = − xx→ → 2 xx242 • Đồ thị không có tiệm cận BBT x - 0 + y’ + 0 - y 3/2 - -
16. e) Tính lồi lõm, điểm uốn: •Y’’=-2(3x2+1) < 0 x R x - + y’’ - ĐồThị lồi 3)Đồ thị Đồ thị nhận Oy làm trục đố xứng ; y = 0 x= 1 ĐT cắt Ox tại (-1; 0) và (1;0)
17. 5 4 3 y=ax4+bx2+c 2 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 -2 -3 -4 -5
18. Tóm tắt: y =ax4+bx2+c (a 0) a>0 a<0 5 5 4 4 3 y’=0 có 3 2 2 1 3 nghiệm 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 -1 -2 Phân biệt -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 5 5 y’=0 có 4 4 3 3 1 nghiệm 2 2 1 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5
19. Bài tập: 1) Bài tập SGK 2)Chứng minh đồ thị hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 3) Cho hàm số y = 4x3-ax. Tìm a sao cho y ≤1 với mọi x [-1;1]. Khảo sát hàm số tìm được. 4) Tìm hàm số y = 4x3+ax2+bx+c sao cho: cho y ≤1 với mọi x [-1;1]. 5) Cho hàm số y = x4+4x3+4x2 + m. i) m=0 khảo sát hàm số. Chứng minh rằng đồ thị có trục đố xứng. ii) Giải biện luận phương trình y =0. iii) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
20. ax+b Hàm số y=( c 0, ad − bc 0) cx+d -x+2 Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y = 2x+1 1 Giải:i) Tập xác định: \ − 2 2) sự biến thiên: −5 y ' = a) Chiều biến thiên: (2x + 1)2 •Y’ không xác định tại x=-1/2 •Y’<0 ,x -1/2 .Vậy hàm số nghịch biến trên các Khoảng (- ;-1/2) và (-1/2;+ ). b) Cực trị : hàm số không có cực trị. c) Giới hạn:
21. −+x 2 limy = lim = − −− 11 21x + xx→ − → − 22 −+x 2 limy = lim = + ++ 11 21x + xx→ − → − 22 Vậy :đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng −+x 21 limy = lim = − xx→ −− → 2x + 1 2 Vậy :đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang d) Bảng biến thiên
22. X - -1/2 + Y’ - - y -1/2 + - -1/2 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại A(0;2), cắt trục hoành Tại B(2;0). Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2) làm tâm đối xứng.Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véctơ 5 OI thì ta có phương trình: Y = 4X
23. 8 a = -1.00 b = 2.00 c = 2.00 6 d = 1.00 −+x 2 ax+b 4 y = f(x) = cx+d 21x + 2 O 2 -10 -5 5 10 I -2 -4 -6 -8
24. 21x − Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: y = x +1 Giải: 1) Tập xác định: R\{-1} 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 3 y ' = y’>0 trên (- ;-1) và (-1; + ) (x + 1)2 b) Cực trị: hàm số không có cực trị. 3 c) Giới hạn: limy = lim (2 − ) = − xx→−11++ →− x +1 3 limy = lim (2 − ) = + xx→−11−− →− x +1
25. •Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1 1 2 − limy == limx 2 xx→ → 1 1+ x •Đồ thị có tiệm cận ngang: y = 2 d) Bảng biến thiên: x - -1 + y’ + + y + 2 2 -
26. 3) Đồ thị: giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-1). Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1/2;0). 8 a = 2.00 b = -1.00 c = 1.00 6 d = 1.00 ax+b 4 f(x) = cx+d 2 I O 2 -10 -5 5 10 -1 -2 -4 -6 -8
27. Tóm tắt: ax+b y = c 0 cx+d d TXĐ: \ − \\ c ad-bc y ' = (cx+d)2 •Nếu ad –bc= 0 thì y = a /c •Nếu ad-bc 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c. Tiệm cận ngang: y = a/c •Giao điểm của hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứng Đồ thị có hai dạng sau:
28. 8 8 6 6 ax+b 4 ax+b 4 f(x) = f(x) = cx+d cx+d M 2 2 I I O 2 O 2 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 -1 -2 -2 ad-bc>0 -4 -4 -6 ad-bc<0 -6 -8 -8 ax+b a ad−− bc ad bc y = = − = cx++ d c c() cx d 2 d Ta có: cx()+ c a ad− bc hay y −= c 2 d cx()+ c x+= d/ c X Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo OI=(-d/c;a/c) y−= a/ c Y ad− bc .Ta có hàm số Y =− Là hàm số lẻ , đồ thị cX2 Có tâm đối xứng là I(-d/c;a/c)
29. ax2 +bx+c Hàm số: y = aa’ 0 a'x+b' x2 -3x+6 Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y = x-1 1) Tập xác định: R\{1}. 2) Sự biến thiên x2 -2x-3 y ' = a)Chiều biến thiên: (x-1)2 y’ =0 x = -1, x = 3.Dấu y’ là dấu của x2-2x-3. Y’> 0 nếu x 3 và y’<0 nếu -1< x < 3. Vậy hàm số tăng trên các khoảng(- ;-1) và (3;+ ) hàm số giảm trên các khoảng(-1;1) và (1;3) b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=y(-1)=5 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và yCT=y(3)=3
30. c) Giới hạn: 44 limy= lim( x −+ 2 ) =− , lim y = lim( x −+ 2 ) =+ x→1− x → 1 −xx−−11 x → 1 + x → 1 + Vậy đường thẳng: x = 1 là tiệm cận đứng. 44 limy= lim ( x −+ 2 ) =− , lim y = lim ( x −+ 2 ) =+ x→− x →− xx−−11 x →+ x →+ 4 lim(yx− ( − 2)) = lim = 0 Đường thẳng y = x -2 là tiệm xx→ → x −1 Cận xiên d)Bảng biến thiên: x - -1 1 3 + Y’ + 0 - - 0 + y -5 + + - - 3
31. 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại (0;-6) , đồ thị không cắt trục hoành Gọi I(1;-1) là giao điểm hai tiệm cận. Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véc tơ OI,ta có: xX=+1 44 ,2y= x − + Y = X + yY−+1 xX−1 Hàm số lẻ trên R\{0} ,vậy I là tâm đối xứng của đồ thị
32. yy8 6 4 3 y= x-2 2 O -10 -5 -1 1 3 5 10 x -2 x=1 -4 -5 -6 hamhuuti.gsp -8
33. −2xx2 − 3 + 5 Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: y = x + 2 1)Tập xác định: R\{-2} 2) Sự biến thiên: 3 a) Chiều biến thiên yx= −21 + + x + 2 y’=-2-3/(x+2)2<0 x -2,hàm số nghịch biến trên hai khoảng (- ; -2) và (-2; + ) b) Cực trị: hàm số không có cực trị 3 limyx= lim ( − 2 + 1 + ) = + c) Giới hạn: xx→−22++ →− x + 2 3 limyx= lim ( − 2 + 1 + ) = − xx→−22−− →− x + 2 •Đường thẳng : x= -2 là tiệm cận đứng
34. 3 limyx= lim ( − 2 + 1 + ) = − xx→+ →+ x + 2 3 limyx= lim ( − 2 + 1 + ) = + xx→− →− x + 2 3 lim(yx− ( − 2 + 1)) = lim = 0 xx→ → x + 2 •Đường thẳng y=-2x+1 là tiệm cận xiên d) Bảng biến thiên x - -2 + y’ - - + + y - -
35. 8 6 4 2 -10 -5 5 10 -2 -4 -6 -8
36. Tóm tắt: ax2 +bx+c C y ==Ax+B+ a'''' x++ b a x b Ca ' y '= A- (a ' x+ b ')2 •Nếu ACa’>0 hàm số có cực trị •Nếu ACa’<0 hàm số đơn điệu trên hai khoảng xác định. •Nếu C = 0 hàm số trở thành y =Ax+B ,x -b’/a’ •Tiệm cận đứng: x= -b’/a’ •Tiệm cận xiên: y =Ax+B •Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng
37. Đồ thị có các dạng sau: 8 8 6 6 4 4 2 2 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 Hàm số -2 -2 -4 -4 Hàm số giảm -6 -6 tăng -8 -8 8 8 Hàm số 6 6 Hàm số 4 Có CĐ 4 3 Có CĐ 2 CT 2 O CT -10 -5 1 5 10 -1 3 -10 -5 5 10 -2 -2 -4 -4 -5 -6 -6 -8 -8
38. Bài tập: 1)Bài tập SGK 2) Các bài tập ôn tập chương 3) Chứng minh rằng đồ thị hàm số: ax+b y=( c 0, ad − bc 0) cx+ d ax2 +bx+c ya= ( ' 0) và ax2+bx+c không chia hết cho a'' x+ b a’x+b’ Có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng