Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích

1. BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho giảng dạy và học tập thuộc môn Toán 8, phân môn Đại số 8, cấp THCS. 3. Tác giả: Họ và tên: BÙI THỊ KIM OANH Giới tính: Nữ Ngày tháng năm sinh: Ngày 12 tháng 10 năm 1981 Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên-Trường THCS Hợp Hưng- Đông Hưng - Thái Bình - Điện thoại: 0982503658 Email: Buioanh101981@gmail.com - Tỉ lệ (%)đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 100% 4.Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Hợp Hưng Địa chỉ: Xã Đông Hợp – Huyện Đông Hưng – Tỉnh Thái Bình 5. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2021 – 2022 II. BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Áp dụng cho giảng dạy và học tập thuộc môn Toán 8, phân môn Đại số 8, cấp THCS. 3. Bản chất của sáng kiến 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết Chuyên đề ' giải phương trình tích ' được học khá kỹ ở chương trình lớp 8 , nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên . Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần 1
2. nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng . Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã dày công tìm tòi ; nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải phương trình tích đa dạng và dễ hiểu . Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh . trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung ; tách hạng tử ; phương pháp them bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú . vì có các ví dụ đa dạng , có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến 3.2.1. Mục đích của giải pháp Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy . Tôi đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ giải phương trình tích “ và những dạng bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính lo gic Chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “ Giaỉ các dạng phương trình đưa về dạng phương trình tích “ Đổi mới phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi 3.2.2. Nội dung của giải pháp 2.3.2: Nội dung và phương pháp thực hiện Kiến thức cần nhớ : *) Một tích bằng 0 khi ? Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng ? Cần cho học sinh thấy rõ là : Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số phải có một thừa số bằng 0 Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0 *) Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau Để giải phương trình tích : A(x 1 ) . A(x 1 ) . .A(x n ) = 0 ( II ) Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau A( x 1 ) = 0 ( 1 ) 2
3. A( x 2 ) = 0 ( 2 ) .. A ( x n ) = 0 ( n ) Nghiệm của các phương trình ( 1 ) ; ( 2 ) .( n ) là nghiệm của phương trình ( II ) Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình ( II ) Bài tập áp dụng: I. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN VÍ DỤ 1: Giải phương trình ( x + 1 ) ( x + 4 ) = ( 2 – x ) ( 2 + x ) Nhận xét : Hai tích không có nhân tử chung thi ta phải khai triển và thu gọn để tìm cách đưa về dạng tích , do đó để giải phương trình này ta cần thực hiện hai bước Bước 1 : Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó ; vế phải bằng 0 ; rồi áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + 1 ) ( x + 4 ) = ( 2 – x ) ( 2 + x ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) – ( 2 – x ) ( 2 + x ) = 0 x 2 x 4x 4 22 x2 0 2x2 5x 0 x(2x 5) 0 Bước 2 : Giải phương trình tích vừa tìm được rồi kết luận nghiệm x 0 x 0 x 0 x ( 2x + 5 ) = 0 5 2x 5 0 2x 5 x 2 5 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 0;  2 3 1 VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x 1 x 3x 7 7 7 Tương tự ví dụ 1 ta thực hiện phép chuyển vế ta có : 3 1 3 3 x 1 x 3x 7 x 1 x2 x 0 7 7 7 7 3 3 2 3 3 2 x 1 x x 0 x x 1 x 0 7 7 7 7 3
4. 3 3 x 1 x 1 x 0 1 x x 1 0 7 7 1 x 0 x 1 3 7 x 1 0 x 7 3 7  Vậy nghiệm của phương trình là : S = 1;  3 VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : x2 2x 1 4 0 Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào hằng đẳng thức x2 2x 1 4 0 Giải : Ta có : x2 2x 1 4 0 x 1 2 22 0 x 1 2 x 1 2 0 x 3 x 1 0 x 3 0 x 3 x 1 0 x 1 Vậy nghiệm của phương trình là S = 1;3 VÍ DỤ 4: 2 2 Giải phương trình : x 1 2 x 1 x 2 x 2 0 Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra được hằng đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức rồi mới phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- 1 ) =A ; ( x + 2 ) = B phương trình có dạng ( A + B ) 2 = 0 2 2 Giải : ta có x 1 2 x 1 x 2 x 2 0 2 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 2x 1 0 4
5. 1 2x 1 x 2 1  Vậy nghiệm của phương trình là : S =  2 VÍ DỤ 5 : Giải phương trình : 3 x 5 2x 2 1 0 Đây là một phương trình tích có chứa căn thức bậc hai , Để tránh cho học sinh có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa căn bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh vẫn thực hiện cách giải thông thường . vì 2; 3; 5 cũng được coi là các hệ số thông thường Giải : ta có 3 x 5 2x 2 1 0 3 x 3 x 5 0 5 2x 2 1 0 1 x 2 2 3 1  Vậy nghiệm của phương trình là : S = ;  5 2 2  II. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1 : Giải phương trình : x3 3x2 2x 0 Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau Cách 1 : Ta có : x3 3x2 2x 0 x x2 3x 2 0 x x2 x 2x 2 0 ( tách 3x = x + 2x ) 2 x x x 2x 2 0 ( nhóm hạng tử ) x x x 1 2 x 1 0 ( đặt nhân tử chung ) x x 1 x 2 0 ( đặt nhân tử chung ) 5
6. x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 0; 1; 2 CÁCH 2: Giải : Ta có x3 3x2 2x 0 x3 x2 2x2 2x 0 ( tách 3x2 x2 2x2 ) x3 x2 2x2 2x 0 x2 x 1 2x x 1 0 x 1 x2 2x 0 x 1 x x 2 0 ( đặt nhân tử chung ) x 1 0 x 1 x 0 x 0 x 2 0 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 0; 1; 2 VÍ DỤ 2: Giai phương trình : x3 19x 30 0 đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung ; cũng không ở dạng hằng đẳng thức nào cả Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào đã biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ở đây ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x3 19x 30 0 x3 9x 10x 30 0 x3 9x 10x 30 0 x x2 9 10 x 3 0 x x2 32 10 x 3 0 x x 3 x 3 10 x 3 0 2 x 3 x x 3 10 0 x 3 x 3x 10 0 2 2 x 3 x 5x 2x 10 0 x 3 (x 5x) 2x 10 0 x 3 x x 5 2 x 5 0 x 3 x 5 x 2 0 x 3 0 x 3 x 5 0 x 5 x 2 0 x 2 6
7. Vậy nghiệm của phương trình là : S = 3; 2;5 2 VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 3x 5x 2 0 Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải : Ta có : 3x2 5x 2 0 3x2 6x x 2 0 3x2 6x x 2 0 3x x 2 x 2 0 x 2 3x 1 0 x 2 x 2 0 1 3x 1 0 x 3 1 Vậy nghiệm của phương trình là : 2;  3 3 2 VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : 4x 14x 6x 0 Đói với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành tích bằng cách đặt nhân tử chung để biểu thức trong ngoặc đơn giản hơn . sau đó dung phương pháp tách hạng tử để đưa về dạng tích Giải : Ta có : 4x3 14x2 6x 0 2x 2x2 7x 3 0 2 2 2x 2x 6x x 3 0 2x 2x 6x x 3 0 2x 2x x 3 x 3 0 2x x 3 2x 1 0 2x 0 x 0 x 3 0 x 3 2x 1 0 1 x 2 1  Vậy : nghiệm của phương trình là : S = 0; 3;  2 2 VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x 9x 20 0 Đói với phương trình này vế trái chưa xuất hiện nhân tử chung Do đó ta cần biến đổi để đưa vế trái về dạng tích bằng cách 7
8. Tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x2 9x 20 0 x2 4x 5x 20 0 x2 4x 5x 20 0 x x 4 5 x 4 0 x 4 0 x 4 x 4 x 5 0 x 5 0 x 5 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 4; 5 2 VÍ DỤ 6: Giải phương trình : x x 6 0 Ta biến đổi vế trái của phương trình thành tích bằng cách tách hạng Tử x = 3x – 2x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x2 x 6 0 x2 3x 2x 6 0 x2 3x 2x 6 0 x x 3 2 x 3 0 x 3 0 x 3 x 3 x 2 0 x 2 0 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 3;2 2 VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x 3x 2 0 Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau . sau đây là Một số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x Ta có : x2 3x 2 0 x2 x 2x 2 0 x2 x 2x 2 0 x x 1 2 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 0 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 1;2 Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6 8
9. Ta có : x2 3x 2 0 x2 3x 4 6 0 x2 4 3x 6 0 x 2 x 2 3 x 2 0 x 2 x 2 3 0 x 2 x 1 0 x 2 0 x 2 x 1 0 x 1 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 1;2 3 9 1 Cách 3 : Biến đổi 3x 2.x. ; 2 2 4 4 2 2 3 9 1 Ta có : x 3x 2 0 x 2x 0 2 4 4 2 2 2 3 9 1 2 3 3 1 x 2x 0 x 2x. 0 2 4 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 x 0 x x 0 2 4 2 2 2 2 3 1 3 1 x x 0 x 1 x 2 0 2 2 2 2 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 1;2 III.DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x4 13x2 36 0 Đây là phương trình bậc 4 ẩn x . để giải dạng phương trình này ta cần đặt biến phụ sau khi tìm được giá tri của biến phụ ta lắp giá trị đó vào biểu thức lien quan ban đầu để tìm nghiệm 2 Ở đây ta đặt x a ta có cách giải sau Giải :Ta có : x4 13x2 36 0 a2 13a 36 0 9
10. a2 4a 9a 36 0 a2 4a 9a 36 0 a a 4 9 a 4 0 a 4 a 9 0 a 4 0 a1 4 a 9 0 a2 9 x2 4 x 2 x2 a Vì ta đặt 2 x 9 x 3 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 2; 3 4 2 VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 2x 5x 2 0 Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ 2 là : Đặt x a nên ta có cách giải sau Giải :Ta có : 2x4 5x2 2 0 2a2 5a 2 0 2a2 4a a 2 0 2a2 4a a 2 0 ( tách 5a = 4a + a ) 2a a 2 a 2 0 a 2 2a 1 0 ( nhóm và đặt NTC ) a 2 a 2 0 1 2a 1 0 a 2 x2 2 x2 a Vì đặt 2 1 x 2 Điều này không thể xẩy ra vì x2 0 với mọi giá trị của x vậy phương trình đã cho vô nghiệm : tập hợp nghiệm của phương trình là : S =  VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 9x4 6x2 1 0 ta biến đổi vế trái bằng 2 cách đặt ẩn phụ x a để đưa về dạng tích 4 2 2 Giải : Ta có : 9x 6x 1 0 9a 6a 1 0 2 2 3a 2.3a 12 0 3a 1 0 10