Bài giảng Toán số Lớp 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

1. Kiểm tra bài cũ Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = −x2 +1 Trong khoảng (− ;+ ) x y = (x − 3)2 Trong khoảng (− ;+ ) b) 3
2. Giải a) Tập xác định của hàm số là R Ta có y, = −2x y , = 0 x = 0 Bảng biến thiên x − 0 + Y, + 0 - y 1 Hàm số đồng biến trên (− ;0) Và nghịch biến trên (0;+ ) đồ thị hàm số
3. b) Tập xác định của hàm số là R x = 1 Ta có y , = x 2 − 4x + 3 y , = 0 x = 3 Bảng biến thiên x − 1 3 + , Y + 0 - 0 + 4 y 3 0 Hàm số đồng biến trên các khoảng (− ;1);(3;+ ) ,nghịch biến trên khoảng (1;3) đồ thị của hàm số
4. Tiết 4. Bài 2 Cực trị của hàm số I- khái niệm cực đại , cực tiểu định nghĩa : cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 (a;b) h 0 : f (x) f (x ),x (x − h; x + h) x x f (x) a) Nếu 0 0 0 0 đạt cực đại tại x0 h 0 : f (x) f (x ),x (x − h; x + h) x x f (x) b) Nếu 0 0 0 0 đạt cực tiểu tại x0 Chú ý 1.Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu ) tại x0 thì x0 đợc gọi là điểm cực đại ( điểm cực tiểu ) của hàm số. f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu ) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) đợc gọi là điểm cực đại ( điểm cực tiểu ) của hàm số. 2.Các điểm cực đại và cực tiểu đợc gọi chung là điểm cực trị.Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu ) cồn gọi là cực đại ( cực tiểu ) và đợc gọi chung là cực trị của hàm số. 3.Dễ dàng chứng minh đợc rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và ’ đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f (x0)= 0.
5. II.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Định lí 1 Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng K=(x0-h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h>0. ’ ’ a) Nếu f (x) > 0 trên khoảng ( x0-h;x0) và f (x) 0 trên khoảng (x0 ;x0+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). x X -h x x +h x X0-h x0 x0+h 0 0 0 ’ f’(x) - + f (x) + - f(x) fCĐ f(x) fCT
6. ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = -x2 +1 ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 – x2 – x + 3 3x +1 y = ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số x +1 Tìm tập xác định của các hàm số trên,tìm đạo hàm bậc nhất ,tìm các điểm f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định,lập bảng biến thiên và từ đó suy ra các điểm cực trị của các hàm số đó?
7. III – Quy tắc tìm cục trị Quy tắc I. 1.Tìm tập xác định. 2.Tìm f’(x).Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định. 3.Lập bảng biến thiên. 4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. H5. hãy tìm các điểm cực trị của hàm số f(x)= x(x2 – 3)
8. định lí 2 Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0-h ; x0+h), với h > 0.Khi đó: ’ ’’ a) Nếu f (x0) = 0, f (x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. ’ ’’ b) Nếu f (x0) = 0, f (x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Quy tắc II 1.Tìm tập xác định. ’ ’ 2.Tính f (x). Giải phơng trình f (x)= 0 và kí hiệu xi ( i= 1,2, ) là các nghiệm của nó. ’’ ’’ 3.Tính f (x) và f (xi). ’’ 4.Dựa vào dấu của f (xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi. x 4 Ví dụ 4.Tìm cực trị của hàm số f (x) = − 2x 2 + 6 4 ví dụ 5.Tìm cấc điểm cực trị của hàm số f(x) = sin2x