Bài giảng Toán số Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập: Nguyên hàm - Nguyễn Giang Nam

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập: Nguyên hàm - Nguyễn Giang Nam

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC Giáo viên thực hiện : Nguyễn Giang Nam
2. A. Phương pháp đổi biến số Bài giải Bài 1: Tính 1. Ta có : x. dx x. dx =x( x + x2 − 1) dx 1. 2 2 xx+−1 xx+−1 1 1 2. cos53x sin x . dx =x2 dx + x 2 −12 d ( x 2 − 1) 2 ( ) 2+ ln2 x .ln xdx 3 3. xx321 (− 1)2 x = +. + C 32 3 2 x3 1 = +. (xC23 − 1) + 33
3. A. Phương pháp đổi biến số Bài giải Bài 1: Tính 2. Ta có : x. dx Cách 1 1. 5 3 5 2 xx+−2 1 cosx sin x . dx= cos x sin x .sin xdx 2. cos53x sin x . dx = − cos52x (1 − cos x ). d (cos x ) 75 2+ ln2 x .ln xdx =− (cosx cos x ) d (cos x ) 3. x cos86x cox x = − + C Cách 2 86 Tổng quát hóa cos5x sin 3 x . dx= cos 4 x sin 3 x .cos xdx cosmnx sin21+ x . dx =− sin3x (1 sin 2 x ) 2 . d (sin x ) =(sin7x − 2sin 5 x + sin 3 x ) d (sin x ) cos21mn+ x sin x . dx sin8x sin 6 x sin 4 x = − + + C (m , n N *) 8 3 4
4. A. Phương pháp đổi biến số Bài giải Bài 1: Tính 3. Ta có : 2ln x x. dx Đặt : t=2 + ln2 x → dt = dx 1. x 2 xx+−1 Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 53 2. cosx sin x . dx 13 3 22t tdt= t22 dt = t + C = + C 33 2+ ln2 x .ln xdx 3. x Thay tx=+2 ln2 vào kết quả, ta được : 2+ ln2 x .ln xdx 2 =(2 + ln23xC ) + x 3
5. A. Phương pháp đổi biến số Bài giải 1. Ta có : Bài 2: Tính t3 −1 Đặt : t=3 31 x + → x = 3 (x+ 1) dx 1 1. ()→ dt= dx →=dx t2 dt 3 31x + 3 (3x + 1)2 dx 2. Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 5 xx(1+ ) t3 −1 +1 1 3 t24 dt=+( t 2 t ) dt t 3 1 t5 =() +tC2 + 35 Thay tx=+3 31vào kết quả, ta được : (x+ 1) dx 1 1 =33(3x + 1)52 + (3 x + 1) + C 3 31x + 15 3
6. A. Phương pháp đổi biến số Bài giải Bài 1: Tính 2. Ta có : 11 Đặt : tx= → = x t Bài 2: Tính 1 1 ()→dt = − dx →dx = − dt (x+ 1) dx x2 t2 1. 3 31x + Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 1 dt t4 dt dx −() − = 2. 11 25 5 (1+ ) tt+1 xx(1+ ) t t5 1dt (5 + 1) 1 = =lntC5 + 1 + 55 t5 +1 1 Thay t = vào kết quả, ta được : x dx 11 =ln + 1 + C x(1+ x55 ) 5 x dx Tổng quát : (n 1, n N *) xx(1+ n )
7. B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải Bài 1: Tính 1. Ta có : cos4x+ sin 4 x = (cos 2 x + sin 2 x ) 2 − 2sin 2 x cos 2 x 1.x (cos44 x+ sin x ). dx 1 1 3 cos4x =1 − sin2 2xx = 1 − (1 − cos4 ) = + 2. x ln2 x . dx 2 4 4 4 44 31 Do đó x(cos x+ sin x ). dx = xdx + x cos4 xdx sin2 x 3 44 3.e sin x .cos x . dx du= dx ux= Đặt → sin 4x 4. sin3 x . dx dv= cos4 x . dx v = 4 xxsin 4 1 →xcos4 x . dx = − sin 4 xdx 44 xxsin 4 1 = +cos4xC + ' 4 16 3 1 1 Vậy x(cos4 x+ sin 4 x ). dx = x 2 + x sin 4 x + cos4 x + C 8 16 64
8. B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải 2. Ta có : Bài 1: Tính 2ln x 2 du= dx 44 ux= ln x 1. x (cos x+ sin x ). dx - Đặt → dv= x. dx x2 v = 2. x ln2 x . dx 2 xx22ln →xln2 x . dx = − x ln xdx sin2 x 3 2 3.e sin x .cos x . dx 1 du= dx ux= ln x 4. sin3 x . dx - Đặt → dv= x. dx x2 v = 2 xx2 ln 1 →xln x . dx = − xdx 22 x22ln x x = − + C ' 24 x2ln 2 x x 2 ln x x 2 Vậy xln2 x . dx= − + + C 2 2 4
9. B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài 1: Tính Bài giải 3. Ta có : 2 du=−2sin x .cos x . dx ux= cos 2 - Đặt 2 → 1 sin x dv= esin x cos x .sin x . dx ve= 2 2 sin2 x 22cosxe . →esinxxsin x cos 3 x . dx = + e sin sin x cos xdx 2 2 sin2 x cosxe . 1 2 = +eCsin x + 22 2 sin2 x 22cosxe . 1 Vậy esinxxsin x cos 3 x . dx= + e sin + C 22
10. B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải Bài 1: Tính 4. Ta có : 1. x (cos44 x+ sin x ). dx - Đặt t=3 x → x = t32 → dx = 3 t dt - Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành 2. x ln2 x . dx 3t2 sin t . dt sin2 x 3 3. e sin x .cos x . dx ut= 3 2 du= 6 tdt - Đặt → vt=−cos 4. sin3 x . dx dv= sin t . dt → 3t22 sin t . dt = − 3 t cos t + 6 t cos tdt u== t du dt - Đặt → dv==cos t . dt v sin t → tcos t . dt = t sin t − sin tdt =tsin t + cos t + C ' Thay tx= 3 ta được sin3x . dx= − 33 x2 cos 3 x + 6 3 x cos 3 x + 6cos 3 x + C
11. C. Củng cố : Phương pháp tính nguyên hàm D. Bài tập về nhà: Tính các nguyên hàm sau : 23x + 1. .dx 7.x (cos66 x+ sin x ). dx xx2 −−45 1 2. .dx x (2xx−− 1)2 (4 5) 8. .dx cos2 x 3xx2 ++ 3 3 3. .dx ln x 3 9. ( )2 .dx xx−+32 x dx 2 x 4. xe x 10. .dx 1+ e (x + 2)2 2 1 sin x 11. .dx 5. .dx cos6 x cosxx cos(+ ) 4 1 4sinxx+ 3cos 6. .dx 12. .dx sin46xx cos sinxx+ 2cos