Các bài toán cực trị hình học trong không gian

Nội dung text: Các bài toán cực trị hình học trong không gian

1. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN Bài toán1 : Họ mp quanh quanh một điểm cố định Cho hai điểm phân biệt A và B .Tìm vị trí của mp(P) đi qua B và cách A 1 khoảng lớn nhất . Giải : Gọi H là hình chiếu vuông goác của A lên (P) ,Ta có : A D(A;(P)) = AH AB. Khi H ≡ B thì (P) qua B và vuông góc AB . qua B Nên (P)  . Có1VTPT n AB Ví dụ : Viết phương trình (P) qua B(1;2;-1) và các gốc tọa độ H O 1 khoảng lớn nhất . B P Bài toán 2 : Họ mp quanh quanh xung quanh 1 đường thẳng cố định Cho điểm A và đường thẳng (d) không qua A .Tìm (P) chứa (d) sao cho d(A;(P)) lớn nhất . Giải : Gọi K và H lần lượt là hình chiéu vuông góc của A lên (d) và (P) , A Ta có :d(A;(P)) = AH AK .vậy d(A;(P)) lớn nhất khi H ≡ K . qua K (P) :  Có1VTPT n AK Ví dụ : Cho (P) : (m-1)x + y + mz – 1 = 0. Tìm m để khoảng cách từ A(1;1;2) đến (P) lớn nhất . (d) H x t P Giải : (P) chứa (d) cố định có pt : y 1 t . K z t Gọi K và H lần lượt là hình chiéu vuông góc của A lên (d) và (P) , Ta có :d(A;(P)) = AH AK .vậy d(A;(P)) lớn nhất khi H ≡ K.    Ta có : K(t;1+t;-t) và AK ( t-1;t;-t-2) và AK.ud 0 nên (t-1)1+t+t+2 = 0 t = -1/3   m 1 1 m Vậy : AK (-4/3;-1/3;-5/3) , (P) vuông góc AK nên : m = 5. 4 1 5 Ví dụ : Cho 3 điểm A(1;1;1) , B(2;1;0) và C(2;0;2).Viết pt(P) qua B,C và d(A;(P)) lớn nhất . Bài toán 3: cho 2 đương thẳng d và d’ phân biệt và không song song .Viết (P) chứa d và tạo với d’ 1 góc lớn nhất . Giải : Lấy K trên (d) dựng qua K đường thẳng (a) //(d’) .Gọi A là điểm trên (a) và H là hình chiếu A của A lên (P),ta có : (·d ';(P)) ·AHK . HK KT d' Kẽ AT  d tại T ,khi đó Cos·AHK AK AK (a) Vậy (·d ';(P)) ·AHK lớn nhất khi H≡T .Góc lớn H T d K nhất đó bằng (·d;d ') ·AKT . P Khi đó(P) cần tìm chứa d và vuông góc mp(d;d’) nên qua K (P)    . Có1VTPT n u  (u  u ) d d d '
2. x y 1 z x 1 y z Ví dụ :Cho 2 đường thẳng d : và d ': .Viết (P) chứa d và tạo với d’ một 1 1 2 1 1 1 góc lớn nhất . qua K(0;1;0) Giải : Áp dụng cách chứng minh trên (P)    .nên Có1VTPT n u  (u  u ) ( 2; 2;2) d d d ' (P) :x+y-z-1 = 0. Bài toán 4:Họ đường thẳng quay quanh 1 điểm cố định trong 1 mp cố định. Cho (P) và A∈(P),điểm B ≠A.Tìm d nằm trong (P) và qua A và cách B 1 khoảng lớn nhất , nhỏ nhất . Giải : Gọi H và T lần lượt là hình chiếu của B trên d và (P) , B ta có :BH AB và BH BT.Khi đó khoảng cách lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ A và nhỏ nhất khi H ≡ T. qua A    Lớn nhất : d Có1VTPT ud np  AB T H d P A qua A     Nhỏ nhất : d Có1VTPT ud np  (np  AB) Ví dụ :Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;1) vuông góc d’ và cách B(2;0;1) một khoảng lớn nhất . Giải : Gọi (P) là mp qua A và  d’ , khi đó d nằm trong (P) qua A và cách B 1 khoảng lớn nhất qua A(1;1;1)   Theo Btoán 4, ta có d . Có1VTPT ud np  AB (2;2; 2) Bài toán 5: Cho (P) và điểm A thuộc (P) d không // hay nằm trên (P) .Tìm d’ nằm trong (P) và đi qua A và tạo với d một góc lớn nhất , bé nhất . Giải : Dựng đường thẳng (a) qua A và // d trên (a) lấy B . B Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B lên d’ và (P), ta có : BH BK d (·d;d ') B· AH , Sin(·d;d ') SinB· AH AB AB d' · · K Vậy (d;d ') BAH nhỏ nhất khi H≡K H P hay d’ chính là AK Hay A qua A     d’ Có1VTPT ud ' np  (np  ud ) 0 qua A    Nếu góc lớn nhất khi (·d;d ') B· AH = 90 thì d’ Có1VTPT ud ' np  ud Bài toán 6 : Cho (P) và điểm A thuộc (P) , d không // (P), không nằm trên (P), không đi qua A .Tìm ∆ trong (P) đi qua A sao cho d(d;∆) là lớn nhất . Giải : Dựng d’ qua A và // d và B là giao điểm của d và (P) . d Gọi H là hình chiếu của B lên mp (d’; ∆) và d(d ; ∆) = BH . d' Gọi C là hình chiéu của B lên d’ , H B ta có : BH BC nên BH lớn nhất khi H ≡ C , khi đó C P qua A    A ∆ , Có1VTPT u np  CB   có thể thay BC bằng AT với T là hình chiếu của A lên d.