Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 - 2023 MễN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề ) ( Đề thi gồm 5 cõu, 5 trang) Bài 1. (4 điểm). a) Thực hiện phộp tớnh: 212.35 46.92 163.310 120.69 A = (22.3)6 84.35 46.312 612 b) Cho đa thức P(x) = x2012 – 2011 x2011 - 2011 x2010 - .. – 2011 x2 - 2011 x + 1 Tớnh P( 2012) Bài 2. (5 điểm) . Tỡm x , y, z biết : a) 2012 = x 2010 x 2008 b) (x 3)x (x 3)x 2 0 3x 2y 2z 5x 5y 3z c) và x + y + z = 50 5 3 2 Bài 3.(3 điểm) a) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c b) Cho a , b là cỏc số nguyờn thỏa món ( 7 a – 21 b + 5)( a – 3 b + 1)  7 Chứng minh rằng 43 a + 11b + 15  7 Bài 4. (2 điểm). Cho biểu thức : A = x 2010 x 2012 x 2014 . Tỡm x để biểu thức A cú giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú . Bài 5. ( 6 điểm) Cho tam giác ABC vuụng tại A . M là một điểm thuộc cạnh BC . Qua M dựng cỏc đoạn thẳng MD, ME sao cho AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD và AC là đường trung trực của đoạn thẳng ME. a) Với điểm M khụng trựng với điểm B và C . Chứng minh rằng : AM = AD = AE b) Với M bất kỳ . Chứng minh rằng : Ba điểm A, D, E thẳng hàng c) Cho tam giỏc ABC cố định. Tỡm vị trớ của điểm M trờn cạnh BC sao cho DE cú độ dài ngắn nhất . ---------Hết--------
2. Hướng dẫn chấm Cõu Đỏp ỏn Biểu điểm a, (2,0 điểm) 0,5 212.35 46.92 163.310 120.69 212.35 (22 )6.(32 )2 (24 )3.310 23.3.5.(2.3)9 A = = (22.3)6 84.35 46.312 612 (22 )6.36 (23 )4.35 (22 )6.312 (2.3)12 212.35 212.34 212.310 212.310.5 0,5 = 212.36 212.35 212.312 212.312 1 212.34 (3 1) 212.310 (1 5) 0,5 (4 điểm) = 212.35 (3 1) 212.310.9 1 2 5 = 0,5 6 3 6 b,( 2,0,điểm) Ta cú P(x) = x2012 – 2011 x2011 - 2011 x2010 - .. – 2011 x2 - 2011 x + 0,5 1 = x2012 – (2012-1) x2011 - (2012-1) x2010 - .. – (2012-1) x2 - (2012-1) x + 1 = (x2012 – 2012x2011) + (x2011 – 2012x2010) + + ( x2 – 2012x) + x + 1 0,5 = x2011(x – 2012) + x2010(x – 2012) + .+ x(x – 2012) + x + 1 0,5 Vậy P( 2012) = 2012 +1 = 2013 0,5 õaa a. ( 1,75 điểm) 2012 2012 = x 2010 x 2008 (1) + Nếu x < 2008 , từ (1) 2012 = 2010 – x + 2008 – x x = 1003 ( thỏa món) 0,5 + Nếu 2008 < x 2010 , từ (1) 2012 = 2010 – x + x – 2008 2012 = 2 ( vụ lý) 0,5 + Nếu x 2010 , từ (1) 2012 = x – 2010 + x – 2008 x = 3015( thỏa món) 0,5 Vậy giỏ trị x cần tỡm là : 1003 hoặc 3015 0,25 2 b, ( 1,25 điểm) (5 điểm) (x 3)x (x 3)x 2 0 (x 3)x[1 (x 3)2 ] 0 0,5 x 3 0 0,5 (x 3)x 0 x 3 1 2 1 (x 3) 0 x 3 1
3. x 3 0,25 x 4 x 2 c, ( 2,0 điểm) 0,5 3x 2y 2z 5x 5y 3z 15x 10y 6z 15x 10y 6z Từ 5 3 2 25 9 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có: 0,5 15x 10y 6z 15x 10y 6z 15x 10y 6z 15x 10y 6z 0 25 9 4 38 x y 0,5 2 3 15x 10y 0 3x 2y x z 6z 15x 0 2z 5x 2 5 10y 6z 0 5y 3z z y 5 3 x y z x y z 50 0,5 5 2 3 5 2 3 5 10 x 10, y 15, z 25 a, ( 1,5 điểm) 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d a b c d 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d 2011 2011 2011 20110,5 a b c d 3 (3 điểm) a b c d a b c d a b c d a b c d (*) 0,25 a b c d + Nếu a + b + c + d khỏc 0 Từ (*) suy ra a = b = c = d 0,25 Vậy M = 1 + 1 +1 +1 = 4 + Nếu a + b + c + d = 0 a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; 0,5 a + d = - ( b +c) . Vậy M = - 1 - 1 – 1 – 1 = - 4 b, ( 1,5 điểm) Từ ( 7 a – 21 b + 5)( a – 3 b + 1)  7 ( a – 3 b + 1)  7 vỡ ( 7 a – 21 b + 0,5 5) khụng chia hết cho 7 và 7 là số nguyờn tố . Từ ( a – 3 b + 1)  7 (42a + 14b +14 ) + ( a – 3 b + 1)  7 0,5 vỡ (42a + 14b + 14 )  7 43a + 11b + 15  7 ( đpcm) 0,5 Ta cú : A = x 2010 x 2012 x 2014 0,25
4. = ( x 2010 2014 x ) x 2012 Áp dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối : a b a b dấu ‘ =’ xẩy ra khi a.b 0 , ta cú 0,75 Ta cú x 2010 2014 x x 2010 2014 x 4 với mọi x (1) 4 (2,0 x 2012 0 với mọi x ( 2) điểm) Từ (1) và (2) A 4 với mọi x . Vậy A cú giỏ trị nhỏ nhất = 4 (x 2010)(2014 x) 0 Khi (1) và (2) xẩy ra dấu “ =” hay : x = 2012 x 2012 0 0,75 Vậy x = 2012 thỡ A cú giỏ trị nhỏ nhất là : 4 0,25 Vẽ hỡnh chớnh xỏc ý a D A 1 2 4 E I 3 0,5 K C B M a, (2,0 điểm) Gọi I là giao điểm của MD và AB, K là giao điểm của ME và AC 0,75 IM = ID , MK = KE và Mã IA Dã IA 900 , Mã KA Eã KA 900 ( Do AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME) 5 ∆ AIM = ∆ AID ( c.g.c) và ∆ AKM = ∆ AKE ( c.g.c) 0,75 (6,0 AM = AD và AM = AE AM = AD = AE 0,5 điểm) b, (1,5 điểm) + Nếu M trựng B ( hoặc C) thỡ D ( E) trựng B( C) và K trựng A ( I trựng A) 0,5 3 điểm A, D, E thẳng hàng + Nếu M khụng trựng B ( hoặc C) . Theo ý a ta cú : ∆ AIM = ∆ AID ( 0,5 à ả à ả c.g.c) và ∆ AKM = ∆ AKE ( c.g.c) A1 A2 và A3 A4 ả à 0 à ả à ả 0 0,5 Mà A2 A3 90 A1 A2 A3 A4 180 . suy ra 3 điểm A, D, E thẳng hàng c,(1,75 điểm) 0,5 Theo chứng minh ý a, b ta cú với M bất kỳ thỡ 3 điểm A, D, E thẳng hàng và AM = AD = AE DE = 2.AM Kẻ đường cao AH , ta cú AM AH ( Quan hệ giữa đường vuụng gúc 0,5 và đường xiờn)
5. H Suy ra DE AH , do tam giỏc ABC khụng đổi nờn AH khụng đổi 0,5 DE nhỏ nhõt = 2.AH Vậy DE nhỏ nhất khi M trựng với H 0,25
6. Phụ lục 2 TấN FILE ĐỀ THI:. ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI TỔNG SỐ TRANG (GỒM ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẢN CHẤM) LÀ: 5 TRANG. NGƯỜI RA ĐỀ NGƯỜI THẨM ĐỊNH XÁC NHẬN CỦA XÁC NHẬN CỦA (Họ tờn, chữ ký) (Họ tờn, chữ ký) HIỆU TRƯỞNG CỤM TRƯỞNG (Họ tờn, chữ ký, đúng dấu) (Họ tờn. chữ ký, đúng dấu) Nguyễn Thị Trõm