Đề khảo sát học sinh giỏi tháng 10 năm học 2023-2024 môn Toán Lớp 8 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi tháng 10 năm học 2023-2024 môn Toán Lớp 8 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHÁO SÁT HỌC SINH GIỎI THÁNG 10 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn : Toán 8 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1( 3,5 điểm) Tìm x biết: a) (x 3)(x2 3x 9) x(x 2)(x 2) 3 b) (x2 4x)2 2x2 8x 15 Bài 2( 4 điểm) a) Cho hai số a,b thỏa mãn a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: A 2(a3 b3 ) 3(a2 b2 ) 1 b) Tìm số tự nhiên n để n2 2n 18 là số chính phương. Bài 3(3,5 điểm) a) Cho 10a2 10b2 c2 . Chứng minh rằng : (7a 3b 2c)(7a 3b 2c) (3a 7b)2 b) Cho x > y > z . Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương M x4 (y z) y4 (z x) z4 (x y) Bài 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2058 Bài 5 ( 5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC a) Chứng minh: Ba điểm H,M,D thẳng hàng b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh: tứ giác BKDC là hình thang cân. c) Chứng minh: AH 2 BC 2 BH 2 AC 2 CH 2 AB2 Bài 6 ( 2 điểm) Cho hình thang ABCD có AB // CD và Cˆ Dˆ . Chứng minh: AC > BD .....HẾT... Họ và tên .......................................... Số báo danh............................
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI MÔN TOÁN 8( VÒNG 1) Câu Ý Nội dung Điểm a) Tìm x biết: 1,5 đ (x 3)(x2 3x 9) x(x 2)(x 2) 3 x3 33 x(x2 4) 3 0,5 x3 27 x3 4x 3  4x = -24 => x = -6 0,75 Kết luận 0,25 b) (x2 4x)2 2x2 8x 15 Bài 1 2,0 đ 3,5đ (x2 4x)2 2(x2 4x) 15 0 0,5 (x2 4x)2 2(x2 4x) 1 16 0 (x2 4x 1)2 42 0 0,5 (x2 4x 3)(x2 4x 5) 0 (x 1)(x 3)(x 1)(x 5) 0 0,25 Từ đó giải được x 1;3; 1;5 0,5 Kết luận 0,25 a) Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: Bài 2 2,0 đ A 2(a3 b3 ) 3(a2 b2 ) 1 A 2(a b)(a2 ab b2 ) 3(a2 b2 ) 1 Ta có mà a+b = 1 0,75 A 2(a2 ab b2 ) 3(a2 b2 ) 1 A 2(a2 b2 ) 2ab 3(a2 b2 ) 1 A (a2 b2 2ab) 1 (a b)2 1 0,75 Mà a + b = 1 => A = -2 0,5 Kết luận: b) d) Tìm số tự nhiên n để n2 2n 18 là số chính phương. 2,0 đ 4,0 đ Ta có n2 2n 18 là số chính phương  n2 2n 18 = k2 ( k, n N )  k 2 (n 1)2 17 0,5  ( k + n + 1) ( k – n – 1) =17 0,25 Với k, n N => k + n + 1 N và k +n +1 > k – n -1 0,25 k n 1 17 k 9 Suy ra (thỏa mãn) 0,75 k n 1 1 n 7 Kết luận 0,25
3. Cho 10a2 10b2 c2 . Chứng minh rằng : (7a 3b 2c)(7a 3b 2c) (3a 7b)2 Biến đổi vế trái ta có (7a 3b 2c)(7a 3b 2c) = (7a 3b)2 4c2 0,25 a) = 49a2 42ab 9b2 4(10a2 10b2 ) 0,25 1,5 đ ( vì 10a2 10b2 c2 ) = 49a2 42ab 9b2 40a2 40b2 = 9a2 42ab 49b2 0,75 = (3a 7b)2 = VP Vậy (7a 3b 2c)(7a 3b 2c) (3a 7b)2 với 10a2 10b2 c2 0,25 b) Cho x > y > z . Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương 4 4 4 Bài 3 2,0 đ M x (y z) y (z x) z (x y) 3,5 đ Ta có M x4 (y z) y4 (z x) z4 (x y) 0,25 M x4 (y z) y4 (x z) z4 (x y) M x4 (y z) y4 (y z x y) z4 (x y) M x4 (y z) y4 (y z) y4 (x y) z4 (x y) 0,5 M (y z)(x2 y2 )(x2 y2 ) (x y)(y2 z2 )(y2 z2 ) 2 2 2 2 0,25 M (y z)(x y) (x y)(x y ) (y z)(y z ) M (x y)(y z)(x3 z3 xy2 y2 z x2 y yz2 ) M (x y)(y z)(x z)(x2 y2 z2 xy yz xz) 0,5 1 M (x y)(y z)(x z) (x y)2 (y z)2 (x z)2 2 Lập luận chứng tỏ M > 0 với mọi x > y > z 0,25 Kết luận 0,25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 4 P (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2058 Ta có P (x 1)(x 6)(x 3)(x 2) 2058 P (x2 5x 6)(x2 5x 6) 2058 0,5 P (x2 5x)2 36 2058 P (x2 5x)2 2022 0,5 2,0 đ Lập luận chỉ ra P 2022 x P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2022 khi và chỉ khi x2 5x 0 0,75 x 0; 5 Kết luận 0,25
4. Vẽ hình + GT, KL A E F H Bài 5 B C I M K D Chứng minh được : BD // CH ( cùng vuông góc AB) CD // BH ( cùng vuông góc AC) 0,75 a) Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành Tứ giác BHCD là hình bình hành 1,5 đ có M là trung điểm của đường chéo BC 0,75  M là trung điểm của HD  3 điểm H, M , D thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của BC và HK Vì K đối xứng với H qua BC => BC là đường trung trực của HK 0,5  BC  HK tại I và I là trung điểm của KH C/m được: IM là đường trung bình của tam giác HKD b)  IM // KD hay BC // KD 0,5 2,0 đ  Tứ giác BKDC là hình thang Vì BC là đường trung trực của HK => CH = CK Tứ giác BHCD là hình bình hành => CH = BD 0,5  CK = BD Hình thang BKDC có CK = BD nên tứ giác BKDC là hình thang cân. 0.5 Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H  H là trực tâm của ABC Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông c) AHF vuông tại F có: AH 2 =AF2 HF 2 (1) 1,5 đ 0,5 BFC vuông tại F có: BC 2 BF 2 CF 2 (2) 2 2 2 2 2 2 Từ (1) và (2) => AH BC (AF CF ) (HF BF ) 0,5 AH 2 BC 2 AC 2 BH 2
5. c/m tương tự AH 2 BC 2 AB2 CH 2 0,25 Do đó AH 2 BC 2 BH 2 AC 2 CH 2 AB2 0,25 Hình vẽ B A E Bài 6 D C Trên nửa mặt phẳng bờ DC có chứa điểm A vẽ tia Cx sao cho 2 đ DCˆx ADˆC 0,25 Gọi E là giao điểm của AB và tia Cx c/m : tứ giác AECD là hình thang cân 0,5  AC = DE Ta có góc DBE là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABD DBˆE DAˆE mà DAˆE BEˆC , BEˆC BEˆD 0,75 Do đó DBˆE BEˆD BDE có DBˆE BEˆD => DE > BD Mà DE = AC 0,5  AC > BD (đpcm)