Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2010-2011 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2010-2011 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa

1. SỞ GD&ĐT KHÁNH HÒA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN-LỚP 12 THPT-BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(4,00 điểm) 2x 1 a) Cho hàm số y có đồ thị (C). Tìm tọa độ cùa các điểm M C sao cho khoảng cách x 1 từ điểm I 1;2 tới tiếp tuyến tại M của (C) là lớn nhất. 2 1 b) Tính I dx x 2 2 e 1 x 4 Bài 2:(4,00 điểm) a) Giải phương trình 3 x3 2x2 3 2x2 8x 4 . x 2 19x 43 b) Giải phương trình 0 . 3 36 36 Bài 3:(4,00 điểm) cos B cosC sin A a) Chứng minh tam giác ABC có góc A bằng 1200 khi và chỉ khi 3 . sin B sinC cos A 5 1 7 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 với x>0. 6x 2 x2 Bài 4:(5,00 điểm) a) Cho M(2;5), N(-1;1) và đường thẳng (d):x-2y=0. Điểm C nằm trên (d), biết rằng đường thẳng CM cắt trục hoành tại A và đường thẳng CN cắt trục tung tại B. Chứng minh rằng đường thẳng AB đi qua 1 điểm cố định khi C chạy trên (d). b) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hai đoạn MP và NQ cắt nhau tại H khác O. Hãy tìm điểm I trên đường tròn tâm H bán kính HO sao cho (IA+IB+IC+ID) có giá trị lớn nhất. Bài 5:(3,00 điểm) a 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AA' và 3 B·AD B·AA' D·AA' 600 . Tính thể tích khối hộp theo a. Hướng dẫn đáp án : Đáp án : Bài 1: 3 a/ M(x0;y0) : pptt(∆) của (C) tại M: y 2 (x x0 ) y0 (x0 1) 6 x 1 6 6 + d(M;(∆)) = 0 = = 6 . 9 9 2 3 4 1 2 (x0 1) 2. .| x0 1| (x0 1) (x0 1) | x0 1| + Điểm cần tìm M' và M'
2. t f (x) t b/ Bài toán gốc : I dx f (x)dx ,nếu f(x)- chẵn (a>0). x t a 1 0 2 1 Áp dụng : Đặt x = - t ,ta có : I dx , Đặt : t = 2tanu rồi giải là xong. 2 0 t 4 Bài 2: a.pt đã cho 3 (x 1)(x2 3x 3) 2[(x2 3x 3) (x 1)] + Đặt v = x+1 và u = x2-2x+3 , ta có : phương trình đẳng cấp đối với u,v 1 + 9uv = 4(u2-2uv+v2) 4u2-17uv+4v2 = 0 u = 4v hoặc u = v, tiếp tục giải thì được. 4 x x x 2 19x 43 2 2 19 2 2 b.Xét hàm số : f(x) = trên R, f'(x) = ln , g(x) ln là 1 hàm 3 36 36 3 3 36 3 3 x 2 2 19 đông biến có lim g(x) 0 và lim g(x) -∞ nên f'(x) = 0 g(x) ln =- có 1 nghiệm duy x x 3 3 36 nhất ,do đó f(x) =0 có nhiều nhất 2 nghiệm mà : f(-2) = f(1) = 0. Bài 3 : B C B C 2.cos .cos sin A cos B cosC sin A a. 3 2 2 3 B C B C sin B sinC cos A 2.sin .cos cosA 2 2 B C 2.cos300.cos cos300 2 3 (đpcm) B C 2.sin300.cos -sin300 2 5 1 7 5 2 7 2 b. y x 1 x 2 2 Dấu bằng xảy ra khi x= 2 . 6x 2 x2 6x 3 6x 3 Bài 4 : a. C(2m;m) thuộc (d) , ta có : đường thẳng (CM):(5-m)x+(2m-2)y -8m = 0 và (CN): (1-m)x+(2m+1)y -3m = 0 + Vì CM cắt trục hoành tại A và đường thẳng CN cắt trục tung tại B, nên A(8m/5-m;0) và B(0;3m/2m+1). + (AB): (-3x+16y-24)m+15x+8y = 0 . Điểm cố định là nghiệm hệ phương trình : 3x 16y 24 0 x = 8/11 và y = 15/11. 15x 8y 0 b. áp dụng cô si cho 4 số : IA+IB+IC+ID 4(IA2 IB2 IC2 ID2 ) ,C(O;R) ngoại tiếp ABCD.      Ta có : IA2 IB2 IC2 ID2 = 4HI2 + HA2+HB2+HC2+HD2- 2HI(HA HB HC HD) = = 4HI2 + HA2+HB2+HC2+HD2 = 4r2 + K.không đổi nên dấu băng xảy ra khi IA = IB = IC = ID , tức là H  O Bài 5 : + Trên AB và AD lấy 2 điểm E và F sao cho AA' = AM = AN thì Tứ diện AA'MN là tứ diện đều có 6 2 đường cao là A'H = d(A';(ABCD)) = .AA ' a ,tính diện tích hình thoi ABCD = 2 lần diện tích tam 3 3 a2 3 giác đều cạnh a và bằng . Do đó tính được thể tích hình hộp. 2