Bài giảng Đại số Lớp 8 - Chủ đề: Hằng đẳng thức và một số dạng toán

Nội dung text: Bài giảng Đại số Lớp 8 - Chủ đề: Hằng đẳng thức và một số dạng toán

1. ChuyênChuyên đề:đề: HẰNGHẰNG ĐẲNGĐẲNG THỨCTHỨC ĐÁNGĐÁNG NHỚNHỚ VÀVÀ MỘTMỘT SỐSỐ DẠNGDẠNG TOÁNTOÁN NêuNêu bảybảy hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớ?nhớ?
2. DạngDạng 1.1. ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể tínhtính PhươngPhương pháppháp giải:giải: ĐưaĐưa vềvề mộtmột trongtrong bảybảy hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể tính.tính. BàiBài 1:1: TínhTính a)a) (( xx ++ 2y)2y)22 d)d) (( y)y)(( ++ y)y) b)b) (( 3x3x 2y)2y)22 e)e) (x(x ))33 22 c)c) (( 6x6x )) f)f) (( 3x3x ++ 2)2)33
3. Dạng2.Dạng2. ChứngChứng minhminh đẳngđẳng thứcthức PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể đưađưa vếvế phảiphải bằngbằng vếvế tráitrái hoặchoặc vếvế tráitrái bằngbằng vếvế phải.phải. BàiBài 22:: ChứngChứng minhminh cáccác đẳngđẳng thức:thức: a)a) (( xx ++ y)y)22 yy22 == xx (( xx ++ 2y2y )) b)b) (( xx22 ++ yy22))22 (2xy)(2xy)22 == (x(x ++ yy ))22 (( xx –y–y ))22 c)c) (( xx ++ y)y)33 == x(xx(x 3y3y ))22 +y(+y( yy –3x–3x ))22
4. Dạng2.Dạng2. ChứngChứng minhminh đẳngđẳng thứcthức PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể đưađưa vếvế phảiphải bằngbằng vếvế tráitrái hoặchoặc vếvế tráitrái bằngbằng vếvế phải.phải. BàiBài 3:3: ChứngChứng minhminh cáccác đẳngđẳng thức:thức: a)a) (( aa ++ b)b)33 ++ (a(a –– b)b)33 == 2a2a (( aa22 ++ 3b3b22 )) b)b) (( aa ++ b)b)33 (a(a –– b)b)33 == 2b2b (( bb22 ++ 3a3a22 ))
5. DạngDạng 3.3. TínhTính nhanhnhanh PhươngPhương pháppháp giải:giải: ĐưaĐưa sốsố cầncần tínhtính vềvề dạngdạng (a+b)(a+b)22 hoặchoặc (a(a –b)–b)22 ,, trongtrong đóđó aa làlà sốsố nguyênnguyên chiachia hếthết chocho 1010 hoặchoặc 100.100. BàiBài 4:4: TínhTính nhanhnhanh a)a) 1001100122 b)b) 29,9.29,9. 30,130,1 c)c) (31,8)(31,8)22 –– 2.31,8.21,82.31,8.21,8 ++ (21,8)(21,8)22
6. DạngDạng 4.4. RútRút gọngọn biểubiểu thứcthức vàvà tínhtính giágiá trịtrị biểubiểu thứcthức PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể khaikhai triểntriển vàvà rútrút gọngọn *Thay*Thay giágiá trịtrị củacủa biếnbiến vàovào biểubiểu thứcthức đãđã rútrút gọngọn BàiBài 5:5: RútRút gọngọn rồirồi tínhtính giágiá trịtrị biểubiểu thứcthức a)a) (( xx 10)10)22 x(x+x(x+ 80)80) vớivới x=x= 0,980,98 b)b) (( 2x2x ++ 9)9)22 x(4x+x(4x+ 31)31) vớivới xx == -16,2-16,2 c)c) 4x4x22 28x28x ++ 4949 vớivới xx == 44 d)d) xx33 9x9x22 ++ 27x27x vớivới xx =103=103
7. Dạng4.Dạng4. RútRút gọngọn biểubiểu thứcthức BàiBài 6:6: RútRút gọngọn biểubiểu thức:thức: a)a) (( xx22 –– 2x2x +2)(x+2)(x –– 2)2) (x(x22 ++ 2x+2)(x2x+2)(x +2)+2) b)b) (( xx ++ 1)1)33 ++ (x(x -1)-1)33 ++ xx33 –– 3x(3x( x+1x+1 )(x)(x c)-1)c)-1) (( aa ++ bb +c)+c)22 ++ (a(a ++ bb -c)-c)22 ++ (( 2a2a 22 b)d)b)d) 10010022 999922 ++ 989822 -97-9722 ++ ++ 2222 -1-122 e)e) 3(23(222 ++ 1)(21)(244 +1) (+1) ( 226464 +1)+1) +1+1 f)f) (( aa ++ bb +c)+c)22 ++ (a(a ++ bb -c)-c)22 ++ 2(2( aa +b)+b)22
8. DạngDạng 5.5. TìmTìm giágiá trịtrị nhỏnhỏ nhất,nhất, lớnlớn nhấtnhất củacủa mộtmột biểubiểu thứcthức PhươngPhương pháppháp giải:giải: DựaDựa cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức ĐểĐể đưađưa vềvề dạngdạng TT == aa ±± [M][M]22 vớivới aa làlà hằnghằng số.số. BàiBài 7:7: TìmTìm giágiá trịtrị nhỏnhỏ nhấtnhất củacủa cáccác biểubiểu thức:thức: a)a) AA == 4x4x22 +4x+4x +11+11 b)b) BB == (( xx -1-1 )()( xx +2+2 )()( xx +3+3 )()( xx +6+6 )) c)c) CC == xx22 2x2x ++ yy22 –– 4y4y ++ 77
9. DạngDạng 6.6. PhươngPhương pháppháp tổngtổng bìnhbình phươngphương PhươngPhương pháppháp giải:giải: BiếnBiến đổiđổi đẳngđẳng thứcthức vềvề dạngdạng AA22 ++ BB22 == 0,0, từtừ đóđó suysuy rara AA == 0,0, BB == 0.0. BàiBài 8:8: a)a) ChoCho aa22 ++ bb22 ++ cc22 == abab ++ bcbc ++ ca,ca, chứngchứng minhminh a=ba=b =c=c b)b) TìmTìm a,a, b,b, cc thỏathỏa mãnmãn đẳngđẳng thức:thức: aa22 2a2a ++ bb22 ++ 4b4b ++ 4c4c22 4c4c ++ 66 == 00
10. DạngDạng 7.7. ÁpÁp dụngdụng vàovào sốsố họchọc BàiBài 9:9: ChứngChứng minhminh rằngrằng tổngtổng cáccác lậplập phươngphương củacủa baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp thìthì chiachia hếthết chocho 99 Giải:Giải: GọiGọi baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp làlà n-1,n-1, n,n, n+1.n+1. tổngtổng lậplập phươngphương củacủa chúngchúng là:là: AA == (n-1)(n-1)33 ++ nn33 ++ (n+1)(n+1)33 == nn33 -3n-3n22 +3n+3n -1-1 ++ nn33 ++ nn33 +3n+3n22 +3n+3n +1+1 == 3n3n33 ++ 6n6n == 3n(3n( nn22 -1)-1) ++ 9n9n == 33 (n-1)n(n+1)(n-1)n(n+1) ++ 9n9n Vì:Vì:99 trongtrong baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp cócó mộtmột sốsố chiachia hếthết chocho 33 nênnên 3n(n3n(n22-1)-1) chiachia hếthết chocho 9,9, lạilại cócó 9n9n chiachia hếthết chocho 9.9.
11. DạngDạng 8.8. ĐiềnĐiền vàovào ôô trốngtrống cáccác hạnghạng tửtử thíchthích hợphợp BàiBài 10:10: ĐiềnĐiền vàovào ôô trốngtrống đểđể biểubiểu thứcthức sausau trởtrở thànhthành bìnhbình phươngphương củacủa mộtmột tổngtổng hoặchoặc mộtmột hiệu:hiệu: a)a) xx22 ++ 20x20x ++ b)b) 16x16x22 ++ 24x24x ++ c)c) yy22 ++ 4949 d)d) 42xy42xy ++ 49y49y22
12. Dạng 8. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp BàiBài 11:11: ĐiềnĐiền vàovào ôô trốngtrống đểđể đượcđược đẳngđẳng thứcthức đúng:đúng: a) x2 + 6xy + ? = ( ? + 3y)2 b) ( ? + ? )2 = x2 + ? + 4y4 c) ( ? + ? )2 = ? + m +
13. DạngDạng 9.9. BiểuBiểu diễndiễn đađa thứcthức dướidưới dạngdạng bìnhbình phương,phương, lậplập phươngphương củacủa mộtmột tổngtổng (một(một hiệu)hiệu) BàiBài 12:12: ViếtViết mỗimỗi biểubiểu thứcthức sausau dướidưới dạngdạng tổngtổng củacủa haihai bìnhbình phương:phương: a)a) xx22 ++ 10x10x ++ 2626 ++ yy22 +2y+2y b)b) xx22 2xy2xy ++ 2y2y22 +2y+2y +1+1 c)c) zz22 6z6z ++ 1313 ++ tt22 +4t+4t d)d) 4x4x22 -4xz-4xz ++ 11 ++ 2z2z22 -2z-2z
14. Dạng 10. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể biếnbiến đổiđổi biểubiểu thứcthức đãđã chocho khôngkhông còncòn chứachứa biến.biến. BàiBài 13:13: ChứngChứng minhminh giágiá trịtrị biểubiểu thứcthức sausau khôngkhông phụphụ thuộcthuộc vàovào x:x: a)a) (2x(2x +3)(4x+3)(4x22 6x6x +9)+9) 2(4x2(4x33 -1)-1) b)b) (( xx +3)+3)33 -(x-(x ++ 9)9) (x(x22 +27)+27)
15. Dạng 10. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ đểđể biếnbiến đổiđổi biểubiểu thứcthức đãđã chocho khôngkhông còncòn chứachứa biến.biến. BàiBài 14:14: ChứngChứng minhminh giágiá trịtrị biểubiểu thứcthức sausau khôngkhông phụphụ thuộcthuộc vàovào x,y:x,y: a)a) (x(x +y)(x+y)(x22 xyxy +y+y22)) ++ (x(x -y)(x-y)(x22 ++ xyxy ++ yy22)) –– 2x2x33 b)b) (( xyxy -5)(xy+2)-5)(xy+2) +3(xy-2)(xy+3(xy-2)(xy +2)+2) -(3xy-(3xy ))22 ++ 5x5x22yy22
16. DạngDạng 11.11. TìmTìm xx thỏathỏa mãnmãn đẳngđẳng thứcthức chocho trướctrước PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức đángđáng nhớnhớ rútrút gọngọn vếvế tráitrái (hoặc(hoặc vếvế phải)phải) vềvề dạngdạng aXaX == b,b, từtừ đóđó tìmtìm X.X. BàiBài 15:15: TìmTìm x,x, biết:biết: a)a) (( xx ++ 22 ))22 99 == b)b) (( xx ++ 22 ))22 xx22 ++00 44 == c)c) xx22 2x2x == 2424 00 d)d) (( xx 33 ))33 xx (x-(x- 4)(x4)(x +4)+4) == xx 2727 e)e) (( xx 1)1)33 (x(x +3)+3)33 ++ 2828 == 00
17. BàiBài 16:16: TìmTìm giágiá trịtrị nhỏnhỏ nhấtnhất củacủa cáccác biểubiểu thức:thức: a)a) AA == xx22 20x20x +101+101 b)b) BB == 4a4a22 +4a+4a +2+2 c)c) CC == xx22 4xy4xy ++ 5y5y22 –– 22y22y +10x+10x +28+28 BàiBài 17:17: TìmTìm giágiá trịtrị lớnlớn nhấtnhất củacủa cáccác biểubiểu thức:thức: a)a) AA == 4x4x xx22 +3+3 b)b) BB == xx xx22
18. BàiBài 18:18: ChứngChứng minhminh rằngrằng nếu:nếu: (( xx y)y) 22 ++ (( yy zz ))22 ++ (( zz –– xx ))22 == (y+z(y+z -2x-2x ))22 ++ (z(z +x+x -2y)-2y)22 ++ (x(x +y+y 2z)2z)22 thì:thì: xx == yy == zz
19. DạngDạng 11.11. ChứngChứng minhminh bấtbất đẳngđẳng thứcthức thỏathỏa mãnmãn vớivới mọimọi biếnbiến sốsố PhươngPhương pháppháp giải:giải: DựaDựa cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức 22 ĐểĐể đưađưa vềvề dạngdạng [[ FF ]] ++ kk vớivới kk >0>0 hoặchoặc [[ FF ]]22 ++ nn vớivới n 0>0 vớivới mọimọi xx b)b) BB == -4x-4x22 -4x-4x -2-2 0>0 vớivới mọimọi x,y,zx,y,z
20. DạngDạng 11.11. ChứngChứng minhminh bấtbất đẳngđẳng thứcthức thỏathỏa mãnmãn vớivới mọimọi biếnbiến sốsố BàiBài 20:20: ChứngChứng minhminh rằngrằng cáccác bấtbất đẳngđẳng thứcthức sausau thỏathỏa mãnmãn vớivới mọimọi x,y:x,y: a)a) AA == xx22 +xy+xy ++ yy22 +1+1 >> 00 b)b) BB == xx22 -4xy-4xy ++ 5y5y22 ++ 2x2x -10y-10y +14+14 >0>0 c)c) CC == 5x5x22 ++ 10y10y22 -6xy-6xy 4x4x –– 2y2y +3+3 >0>0
21. Dạng 13. Một số hằng đẳng thức tổng quát PhươngPhương pháppháp giải:giải: BằngBằng phépphép nhânnhân đađa thứcthức có:có: 1. aann –– bbnn == (a-b)((a-b)( aan-1n-1+a+an-2n-2b+b+ + + ababn-2n-2 +b+bn-1n-1)) vớivới mọimọi sốsố nguyênnguyên dươngdương nn 2. aann ++ bbnn == (a+b)((a+b)( aan-1n-1-a-an-2n-2b+b+ ababn-2n-2 +b+bn-1n-1)) vớivới mọimọi sốsố nguyênnguyên dươngdương nn lẻlẻ 3. NhịNhị thứcthức newton:newton: (( a+b)a+b)nn == aann ++ aan-1n-1bb ++ aan-2n-2bb22 + ++ + ababn-1n-1++ bbnn vớivới
22. Dạng 13. PhươngPhương pháppháp giải:giải: ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức trêntrên vàovào tínhtính chiachia hếthết tata có:có: •• aann –– bbnn chiachia hếthết chocho aa –– bb vớivới aa ≠≠ bb vàvà nn nguyênnguyên dươngdương •• aa2n2n +1+1 ++ bb2n+12n+1 chiachia hếthết chocho a+ba+b •• aa2n2n –– bb2n2n chiachia hếthết chocho aa ++ b.b. BàiBài 21:21: ChứngChứng minhminh 11111010 –– 11 chiachia hếthết chocho 100.100.
23. Dạng 13. BàiBài 22:22: ChứngChứng minhminh 11111010 –– 11 chiachia hếthết chocho 100.100. Giải:Giải: CóCó 11111010 –– 11 == 11111010 –– 111010== (11(11 -1)(11-1)(1199+11+1188+ ++ + 11+1)11+1) == 10(1110(1199+11+1188+ ++ + 11+1)11+1) VìVì 111199+11+1188+ ++ + 11+111+1 cócó chữchữ sốsố tậntận cùngcùng bằngbằng 00 nênnên 111199+11+1188+ ++ + 11+111+1 chiachia hếthết chocho 10.10. VậyVậy 11111010 –1–1 chiachia hếthết chocho 100.100.
24. BàiBài 23:23: VớiVới nn làlà sốsố nguyênnguyên dươngdương chẵn,chẵn, chứngchứng minhminh 2020nn +16+16nn –3–3nn 11 chiachia hếthết chocho 323.323. Giải:Giải: TaTa có:có: 323323 == 17.19.17.19. ÁpÁp dụngdụng cáccác hằnghằng đẳngđẳng thứcthức tổngtổng quátquát tata cócó 2020nn –– 11 chiachia hếthết chocho 19,19, vàvà vìvì nn chẵnchẵn nênnên 1616nn 33nn chiachia hếthết chocho 1616 +3+3 =19,=19, dodo đóđó 2020nn +16+16nn –3–3nn 11 == (20(20nn –– 1)1) ++ (16(16nn 33nn)) chiachia hếthết chocho 19.19. MặtMặt khác,khác, vìvì 2020nn -3-3 chiachia hếthết chocho 1717 vàvà 1616nn -1-1 chiachia hếthết chocho 1616 +1+1 == 1717 nênnên 2020nn +16+16nn –3–3nn 11 == (20(20nn -3-3 )) ++ (16(16nn -1-1 )) chiachia hếthết chocho 17.17. VậyVậy 2020nn +16+16nn –3–3nn 11 chiachia hếthết chocho 323323
25. BuổiBuổi 22 BàiBài 1:1: ĐiềnĐiền vàovào ôô trốngtrống đểđể đượcđược đẳngđẳng thứcthức đúng:đúng: a)a) (2a(2a +3b)(+3b)( ++ 8a8a33 ++ 27b27b33 )) == b)b) (5x(5x )()( +20xy++20xy+ 125x 125x )=)= 33 –– 64y64y33
26. BàiBài 2:2: ChứngChứng minhminh a)a) 1111n+2n+2 +12+122n+12n+1 chiachia hếthết chocho 133.133. b)b) 55n+2n+2 ++ 26.526.5nn +8+82n+12n+1 chiachia hếthết chocho 59.59. c)c) 7.57.52n2n ++ 12.612.6nn chiachia hếthết chocho 19.19.
27. BàiBài 2:2: ChứngChứng minhminh a)a) 1111n+2n+2 +12+122n+12n+1 chiachia hếthết chocho 133.133. Giải:Giải:
28. b)b) 55n+2n+2 ++ 26.526.5nn +8+82n+12n+1 chiachia hếthết chocho 59.59. Giải:Giải:
29. c)c) 7.57.52n2n ++ 12.612.6nn chiachia hếthết chocho 19.19. Giải:Giải:
30. DạngDạng 12.12. ÁpÁp dụngdụng vàovào sốsố họchọc PhươngPhương pháppháp giải:giải: •• SốSố nguyênnguyên aa chiachia hếthết chocho sốsố nguyênnguyên bb nếunếu cócó sốsố nguyênnguyên kk saosao chocho aa =b.k=b.k •• PhânPhân tíchtích biểubiểu thứcthức rara thừathừa sốsố đểđể xuấtxuất hiệnhiện sốsố chiachia BàiBài 3:3: BiếtBiết sốsố tựtự nhiênnhiên aa chiachia chocho 55 dưdư 1,1, sốsố tựtự nhiênnhiên bb chiachia chocho 55 dưdư 2.2. ChứngChứng minhminh rằngrằng tổngtổng cáccác bìnhbình phươngphương củacủa haihai sốsố aa vàvà bb chiachia hếthết chocho 55
31. DạngDạng 12.12. ÁpÁp dụngdụng vàovào sốsố họchọc BàiBài 4:4: BiếtBiết sốsố tựtự nhiênnhiên nn chiachia chocho 77 dưdư 4.4. HỏiHỏi nn22 chiachia chocho 77 dưdư baobao nhiêu?nhiêu? nn33 chiachia chocho 77 dưdư baobao nhiêu?nhiêu? BàiBài 5:5: ChoCho aa ,, bb làlà cáccác sốsố nguyên.nguyên. ChứngChứng minhminh aa33 ++ bb33 chiachia hếthết chocho 33 khikhi vàvà chỉchỉ khikhi a+ba+b chiachia hếthết chocho 3.3. BàiBài 6:6: a+ba+b =1.=1. TínhTính giágiá trịtrị MM == 2(2( aa33 ++ bb33)) –– 3(3( aa22 ++ bb22))
32. DạngDạng 7.7. ÁpÁp dụngdụng vàovào sốsố họchọc BàiBài 8:8: ChứngChứng minhminh rằngrằng tổngtổng cáccác lậplập phươngphương củacủa baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp thìthì chiachia hếthết chocho 99 Giải:Giải: GọiGọi baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp làlà n-1,n-1, n,n, n+1.n+1. tổngtổng lậplập phươngphương củacủa chúngchúng là:là: AA == (n-1)(n-1)33 ++ nn33 ++ (n+1)(n+1)33 == nn33 -3n-3n22 +3n+3n -1-1 ++ nn33 ++ nn33 +3n+3n22 +3n+3n +1+1 == 3n3n33 ++ 6n6n == 3n(3n( nn22 -1)-1) ++ 9n9n == 33 (n-1)n(n+1)(n-1)n(n+1) ++ 9n9n Vì:Vì:99 trongtrong baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp cócó mộtmột sốsố chiachia hếthết chocho 33 nênnên 3n(n3n(n22-1)-1) chiachia hếthết chocho 9,9, lạilại cócó 9n9n chiachia hếthết chocho 9.9.
33. BàiBài 9:9: ChứngChứng minhminh rằngrằng tổngtổng cáccác lậplập phươngphương củacủa baba sốsố nguyênnguyên liênliên tiếptiếp thìthì chiachia hếthết chocho 99
34. BàiBài 9:9: ChứngChứng minhminh khôngkhông cócó đađa thứcthức F(x)F(x) nàonào vớivới hệhệ sốsố nguyênnguyên màmà F(7)F(7) == 55 vàvà F(15)F(15) == 9.9. Giải:Giải: VếVế tráitrái chiachia hếthết chocho 1515 -7-7 == 8,8, vếvế phảiphải làlà 44 khôngkhông chiachia hếthết chocho 88 VậyVậy khôngkhông cócó đađa thứcthức F(x)F(x) nàonào vớivới hệhệ sốsố nguyênnguyên màmà F(7)F(7) == 55 vàvà F(15)F(15) == 9.9.
35. BàiBài 10:10: ChoCho đađa thứcthức vớivới hệhệ sốsố nguyênnguyên F(x)F(x) cócó F(0)F(0) vàvà F(1)F(1) làlà haihai sốsố lẻ.lẻ. ChứngChứng minhminh rằngrằng F(x)F(x) khôngkhông cócó nghiệmnghiệm nguyên.nguyên. BàiBài 11:11: ChứngChứng minhminh vớivới sốsố nguyênnguyên n>1n>1 có:có: nnnn –– nn22 ++ nn -1-1 chiachia hếthết chocho (( n-1n-1 ))2.2. BàiBài 12:12: VớiVới sốsố sốsố tựtự nhiênnhiên n,n, cho:cho: ChứngChứng minhminh rằngrằng vớivới mỗimỗi sốsố tựtự nhiênnhiên nn cócó mộtmột vàvà chỉchỉ mộtmột trongtrong haihai sốsố chiachia hếthết chocho 5.5.