Bài giảng Toán số Lớp 12 - Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Nội dung text: Bài giảng Toán số Lớp 12 - Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

1. Tiết 60 ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
2. ?1 Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân? Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đờng thẳng x =a, x= b là: b S = f (x)dx a
3. H1 Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R Thực hiện các giới hạn bởi đờng tròn có phơng trình : x2 + bài tập sau: y2 = R2 Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đờng thẳng x = 1, x = 2. + Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành và hai đ- ờng thẳng x = 1, x = 2 với kết quả ở trờn. Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6, trục hoành và hai đờng thẳng x = 1, x = 3. Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1, trục hoành và hai đờng thẳng x = 1, x = 3.
4. N1 Lời giải Xột đường trũn cú phương trỡnh: x2 + y2 = R2 Diện tớch hỡnh trũn bỏn kớnh R là: S = 4S’ trong đú S’ là diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = R2 − x 2 và hai đường thẳng x = 0 và x = R. Ta cú: R S'= R 2 − x2 dx 0 Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt. x = 0 thỡ t = 0; x = R thỡ t = /2 2 2 2 2 2 R − x = R − R sin t = Rcost (t 0; ) 2 R S'= R 2 − x2 dx 0 2 2 2 2 2 1+ cos2t R sin 2t R = R cost.R costdt = R dt = t + 2 = 2 2 2 4 0 0 0 Vậy S = 4S’ = R2 Quay lại
5. N2 Vậy diện tớch hỡnh thang cong giới y y = x2 + Diệnhạn bởitớch đồhỡnh thị hàmthang sốcong y = f(x)giới liờnhạn bởi đồtục,thị õmhàm trờnsố đoạny = [a;b],x2, trục trục OxOx vàvà hai đườnghai đườngthẳng thẳngx = 1, x = 2a,là x: = b là gỡ? 2 x3 2 S = x2dx = 1 1 3 1 7 = x 3 + Căn cứ vào hỡnh vẽ nhận thấy: Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởiDiện đồ thị tớch hàm hỡnh số thang y = - xcong2, trục giới Ox hạn bởi và đồhai thị đường hàm thẳngsố y = xf(x) = 1, liờn x = tục, 2 là: õm trờn đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng S = S = 7 2 x = a,1 x = b là: y = - x2 3 b S = − f(x)dx Tiếp tục a
6. N3 Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 3 S = (x3 − 3x2 + 6)dx 3 1 4 x 3 3 = − x + 6x 4 1 81 1 = − 27 + 18 − − 1+ 6 4 4 = 6 Quay lại
7. N4 Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 3 S = (x2 − 2x + 1)dx 4 1 3 x 2 3 = − x + x 3 1 27 1 = − 9 + 3 − − 1+ 1 3 3 8 = 3 Quay lại
8. Nhận xột: y Từ kết quả của nhúm 3 và nhúm Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi 4, tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới đồ thị cỏc hàm số: hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: y = x3 – 3x2 + 6 , y = x2 - 2x + 1 y = x3 – 3x2 + 6 , y = x2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ? là: S = S3 – S4 3 3 x = (x3 − 3x2 + 6)dx − (x2 − 2x +1)dx 1 1 Vậy 8diện10 tớch hỡnh phẳng =giới6 − hạn= bởi đồ thị cỏc hàm số 3 3 y = f(x), y = g(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b bằng? Tiếp tục
9. 1. Một số cụng thức cần nhớ a) Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = f(x)dx a b) Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số y = f(x), y = g(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b b S = f(x) − g(x)dx a Quay lại
10. 2. Một số vớ dụ Vớ dụ 1: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. Lời giải: y y = x3 - 1 Đặt f(x) = x3 – 1. Ta cú: f(x) ≤ 0 trờn [0;1] và f(x) ≥ 0 trờn [1; 2] Diện tớch hỡnh phẳng cần tỡm là: 2 S = x3 −1dx 0 1 2 = (1− x3 )dx + (x3 −1)dx x 0 1 3 11 7 = + = 4 4 2
11. Vớ dụ 2: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm 3 số: f1(x) = x – 3x và f2(x) = x Lời giải: Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số 3 f1(x) = x – 3x và f2(x) = x là: 3 x = −2 y f1(x) =x – 3x 3 3 x − 3x = x x − 4x = 0 x = 0 x = 2 Diện tớch hỡnh phẳng cần tỡm là: 2 S = x3 − 4xdx −2 0 2 x = (x3 − 4x)dx + (4x − x3 )dx −2 0 4 4 x 2 0 2 x 2 = − 2x + 2x − 4 − 2 4 0 f2(x) =x = 4 + 4 = 8
12. 3. Bài tập vận dụng Thực hiện H1 và H1: Tỡm diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồH2 thị trong hàm sỏchsố: y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. giỏo khoa! H2 :Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x2 + x - 2 H1: Giải: Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trờn [0; 2] và f(x) ≤ 0 trờn [2; 3] nờn: 3 2 3 23 S = 4 − x2 dx = (4 − x2 )dx + (x2 − 4)dx = 0 0 2 3 H2: Giải: PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 x = -2; x = 2. Vậy: 2 32 S = 4 − x 2 dx = −2 3
13. Chỳ ý: + Để khử dấu giỏ trị tuyệt đối trong cụng thức: b S = f (x) − g(x)dx a Ta thực hiện như sau: • Giải phương trỡnh f(x) – g(x) = 0 trờn đoạn [a; b], giả sử pt cú cỏc nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b). • Trờn từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thỡ f(x) – g(x) khụng đổi dấu. • Trờn mỗi đoạn đú, chẳng hạn trờn đoạn [c; d], ta cú: d d S = f (x) − g(x)dx = [f (x) − g(x)]dx c c
14. Củng cố: - Ghi nhớ cỏc cụng thức tớnh diện tớch hỡnh phẳng. - Bài tập đề nghị: y y = x2 - 4x + 3 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6. 2 S = x 2 − 4x + 3− (−2x + 2)dx 1 3 + x 2 − 4x + 3− (2x − 6)dx x 2 2 = 3