Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 7 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 7 (Có lời giải)

1. ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI Năm học : 2022 – 2023 Môn : Toán 7 Thời gian làm bài :120 phút Bài 1. (3,0 điểm). Thực hiện các phép tính. 4 2 2 3 3 2 a) A : : 7 5 3 7 5 3 5.415.99 4.320.89 b. B = 5.210.619 7.229.276 Bài 2 ( 4,5 điểm ). Tìm x biết : 1 1 2 3 a/ 2x 7 1 b/ 2 2 x 2 2 6 3x 1 c/ (x 3)x 2 (x 3)x 8 0 Bài 3. ( 5 điểm ) a. Cho đa thức A(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + – 101x + 101. Tính A(100). b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: H 3x 2y 2 4y 6x 2 xy 24 c/ Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: HMN cân. Bài 5: (1,5 điểm): Cho ba số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1. a b c Chứng minh rằng: 2 bc 1 ac 1 ab 1 ------------------ Hết----------------
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài ý Đáp án Thang điểm 1 1a 4 2 2 3 3 2 a)A : : 1,5đ 7 5 3 7 5 3 (3đ) 4 3 2 3 2 1,0 : 7 7 5 5 3 2 0: 0 0,5 3 1b 5.415.99 4.320.89 1,5đ 5.210.619 7.229.276 5.415.99 4.320.89 = 0,25 5.210.619 7.229.276 5.22.15.32.9 22.320.23.9 = 5.210.219.319 7.229.33.6 0,5 229.318 5.2 32 29 18 0,25 2 .3 5.3 7 0,5 10 9 1 15 7 8 2 2a 1 1 (4,5 2x 7 1 2 2 đ) 1,5đ 0,25 => 2x 7 1 0,5 => 2x – 7 =1 hoặc 2x – 7 = -1 0,5 => x = 4 hoặc x = 3 0,25 Vậy x = 4 hoặc x = 3 2b 2 3 0,25 6 x 2 2 3 x 2 6 3 x 2 4 x 2 2 6 3x 1 1,5đ 0,25 4 x 2 3 0,25 4 4 x 2 hoặc x 2 3 3 0,5 10 2 x hoặc x 3 3 10 2 Vậy x hoặc x 0,25 3 3 2c Ta có: (x - 3) x + 2 - (x - 3) x + 8 = 0 0,5 (x - 3) x + 2 [1- (x - 3) 6 ] = 0 1,5đ 0,5
3.  x – 3 = 0 hoặc (x – 3 )6 = 0 0,25 x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = 4 0,25 Vậy x = 2; x = 3 ; x = 4 3 3a Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + – 101x + 101 1,5đ 0,25 10 9 9 8 8 7 7 ( = x – 100x – x + 100x + x – 100x – x + – 101x + 101 5đ) = x9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100)+ + x(x – 100) 0,5 – (x – 101) 0,25 Suy ra f(100) = 1. 0,25 0,25 Vậy A (100) = 1 . Ta có: 2 2 3b H 3x 2y 4y 6x xy 24 3x 2y 2 4. 2y 3x 2 xy 24 3x 2y 2 4. 3x 2y 2 xy 24 2đ 3. 3x 2y 2 3. 3x 2y 2 xy 24 ] 0,25 2 Ta có: 3. 3x 2y 0x, y; xy 24 0x, y 2 0,25 Do đó: 3. 3x 2y xy 24 0 x, y 2 Nên 3. 3x 2y xy 24 0 x, y Hay H 0 0,25 Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi : 3x 2y 0 và xy 24 0(1) x y Với 3x 2y 0 3x 2y 2 3 0,25 x y Đặt k x 2k; y 3k 2 3 k 2 0,25 Thay x 2k, y 3k vào (1) ta được: 2k.3k 24 0 k 2 x 2.2 4 x 4 0,5 Với k 2 ; với k 2 x 3.2 6 y 6 x 4; y 6 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của H là 0 x 4; y 6 Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) 0,25
4. Theo bài ra ta có : x +y + z = 13 3c và 2x= 3y =4z = 2 SABC x y z 0,5 Suy ra 1,5đ 6 4 3 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau x y z x y z 13 0,5 = 1 6 4 3 6 4 3 13 suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3 0,25 Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 6cm; 4cm; 3cm 4 4 B D (6đ) K M N 0,5 A C H a/ ( 2 điểm ) Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác: ABK và DCK có: BK = CK (gt) BKˆ A CKˆ D (đối đỉnh) 0,5 AK = DK (gt) 0,5 ABK = DCK (c-g-c) DCˆ K DBˆ K mà ABˆ C ACˆ B 900 0,5 ACˆ D ACˆ B BCˆ D 900 0,5 ACˆ D 900 BAˆ C AB//CD(AB  AC và CD  AC). b.( 1 điểm ) Chứng minh rằng: ABH = CDH 0,25 Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: 0,25 BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,5 ABH = CDH (c-g-c) c.( 1,75 điểm )Chứng minh: HMN cân. 0,25 Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: 0,25 AB = CD; ACˆ D 900 BAˆ C ; AC cạnh chung: 0,5 ABC = CDA (c-g-c) ACˆ B CAˆ D 0,25 mà: AH = CH (gt) và MHˆ A NHˆ C (vì ABH = CDH) AMH = CNH (g-c-g) 0,25 MH = NH. Vậy HMN cân tại H 5 Vì 0 a b c 1 nên: 0,25 1,5đ 1 1 c c (a 1)(b 1) 0 ab 1 a b (1) ab 1 a b ab 1 a b 0,25
5. a a b b 0,25 Tương tự: (2) ; (3) bc 1 b c ac 1 a c a b c a b c 0,25 Do đó: (4) bc 1 ac 1 ab 1 b c a c a b a b c 2a 2b 2c 2(a b c) 0,25 Mà 2(5) b c a c a b a b c a b c a b c a b c a b c 0,25 Từ (4) và (5) suy ra: 2 (đpcm) bc 1 ac 1 ab 1