Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 8 - Phòng GD&ĐT Huyện Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 8 - Phòng GD&ĐT Huyện Đông Hưng (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 - 2023 MÔN:TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút ( Đề thi gồm 6 câu,01trang) x 2 1 10 x2 Câu 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức M 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức M . 1 b) Tính giá trị của M , biết x . 2 c)Tìm giá trị của x để M 0 . d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. Câu 2.(4,0 điểm) a) Phân tích đa thức A a3 b3 c3 3abc thành nhân tử. Từ đó suy ra điều kiện của a,b,c để a3 b3 c3 3abc . 1 1 1 yz zx xy b) Cho 0.Tính giá trị của biểu thức sau: B . x y z x2 y2 z2 c) Cho x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và x3 y3 z3 3xyz . x2019 y2019 z2019 Tính C . x y z 2019 d) Giải phương trình sau: (x- 2018)3 + (x- 2019)3 - (2x- 4037)3 = 0 . Câu 3.(4,0 điểm) 3 4x a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 b) Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f x x4 ax2 b chia hết cho g x x2 x 1. Câu 4.(3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A = 1200. Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. a) Chứng minh: AB 2AD . b) Kẻ AH  DC (H DC) . Chứng minh: DI 2AH . c) Chứng minh: AC  AD . Câu 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F. a. Chứng minh: AB2 AE.AF . CE BE b) Chứng minh: . CF BF Câu 6.(2,0 điểm) Cho hình thang vuông ABCD(AB//CD) và góc A= 90 0 DC 2AB , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: BM  MD . -------------HẾT--------------- BẢNG HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI 1
2. (Bảng hướng dẫn chấm gồm 5 trang) ------------------------- I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số. II- Đáp án và thang điểm: CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1. 4,00 đ x 2 1 10 x2 1,00 đ a) Rút gọn M 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 ĐKXĐ: x 2 0,25 đ x 2 x 2 x 2 6 6 x 2 1 Ta có: M :  x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 2 x 0,50 đ 1 Vậy, M , x 2 0,25 đ 2 x 1 b) Tính giá trị của M , biết x . 2 1,00 đ 1 1 1 0,25 đ Ta có: x x hoặc x . 2 2 2 1 1 2 + Với x ( thỏa ĐKXĐ) thì M 1 0,25 đ 2 2 3 2 1 1 2 + Với x ( thỏa ĐKXĐ) thì M 0,25 đ 1 2 2 5 2 1 2 2 0,25 đ Vậy, khi x thì M hoặc M 2 3 5 c) Tìm giá trị của x để M 0 . 1,00 đ 1 0,50đ Ta có: M 0 0 2 x 0 x 2 (thỏa ĐKXĐ) 2 x Vậy, M 0 x 2 0,50 đ d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. 1,00 đ 1 0,50đ Để M có giá trị nguyên khi x nguyên và x 2 thì 2 x 2 x U 1 1;1 0,25 đ 0,25 đ Giải ra x 1 hoặc x 3 ( thỏa ĐKXĐ) Suy ra x 1;3 thì M có giá trị nguyên. Câu 2. 4,00 đ a) Phân tích đa thức A a3 b3 c3 3abc thành nhân tử. Từ đó suy ra 1,00 đ điều kiện của a,b,c để a3 b3 c3 3abc . 2
3. Ta có: 0,50 đ 1 2 2 2 A a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a 2 Để a3 b3 c3 3abc 0,25 đ a3 b3 c3 3abc 0 1 2 2 2 a b c a b b c c a 0 0,25 đ 2 a b c 0 a b c 1 1 1 yz zx xy b) Cho 0.Tính giá trị của biểu thức sau: B . x y z x2 y2 z2 1,00 đ 1 1 1 1 1 1 1 0,25 đ Áp dụng câu a), vì 0 nên 3. ( ĐKXĐ: x y z x3 y3 z3 xyz x, y, z 0 ) 0,50 đ yz zx xy xyz xyz xyz Ta có: B x2 y2 z2 x3 y3 z3 1 1 1 1 xyz. 3 3 3 xyz.3. 3 0,25 đ x y z xyz 1 1 1 Vậy, B 3khi 0 x y z c) Cho x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 và 1,00 đ x3 y3 z3 3xyz . x2019 y2019 z2019 Tính C . x y z 2019 Áp dụng câu a), vì x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 0,25 đ và x3 y3 z3 3xyz nên x y z 0 . x2019 y2019 z2019 3.x2019 1 Do đó, C x y z 2019 3x 2019 32018 0,50 đ 1 Vậy, C với x, y, z là ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z 0 32018 0,25 đ và x3 y3 z3 3xyz 3 3 3 d) Giải phương trình: (x- 2018) + (x- 2019) - (2x- 4037) = 0 . 1,00 đ 3 3 3 Ta có: (x- 2018) + (x- 2019) - (2x- 4037) = 0 0,25 đ 3 3 3 x 2018 x 2019 4037 2x 0 Vì x 2018 x 2019 4037 2x 0 nên theo câu a) ta có: 0,25 đ 3 3 3 x 2018 x 2019 4037 2x 0 3 x 2018 x 2019 4037 2x 0 0,25 đ 3
4. x 2018 0 x 2018 0,25 đ x 2019 0 x 2019 4037 2x 0 4037 x 2 4037  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S 2018;2019;  2  Câu 3. 4,00 đ 3 4x 2,00 đ a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K 2x2 2 Ta có: 2 2 2 2 2 0,50 đ 3 4x x 4x 4 x 1 x 2 x 1 x 2 1 1 K 2 2 2 2 2x 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 2 0,25 đ Dấu “=” x 2 0 x 2 0,25 đ 1 Suy ra GTNN K x 2 2 2 2 3 4x 4x2 4 4x2 4x 1 4x 4 4x 4x 1 0,50 đ Ta có: K 2x2 2 2 x2 1 2 x2 1 2 4 x2 1 2x 1 2x 1 2 2 2 2 2 2 x 1 2 x 1 0,25 đ 1 Dấu “=” 2x 1 0 x 2 0,25 đ 1 Suy ra GTLN K 2 x 2 b) Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho f x x4 ax2 b chia 2,00 đ hết cho g x x2 x 1. Phép chia hết của f x x4 ax2 b cho g x x2 x 1 có đa 0,25 đ thức thương dạng h x x2 cx b . Ta viết x4 ax2 b x2 x 1 x2 cx b với mọi x 0,25 đ 0,25 đ 2 2 Ta có: x x 1 x cx b 0,25 đ x4 c3 x bx2 x3 cx2 bx x2 cx b 0,25 đ 0,25 đ x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b 0,25 đ Suy ra x4 ax2 b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b với 0,25 đ mọi x Đồng nhất thức hai vế, ta được: c 1 0, b c 1 a, b c 0 Suy ra a b c 1 Vậy, a b 1 4
5. Câu 4. 3,00 đ A I B E D H M C a) Chứng minh: AB 2AD . 1,00 đ Ta có: AB = 2AI (Vì I là trung điểm của AB ) (1) 0,25 đ Ta lại có: góc ADI = góc IDC ( Vì DI là phân giác của góc ADC), mà góc AID = góc IDC ( Vì AB // DC, slt) 0,50 đ Do đó, góc ADI = góc DIA suy ra ADI cân tại A nên AD AI 2 0,25 đ Từ (1) và (2) suy ra AB 2AD b) Kẻ AH  DC (H DC) . Chứng minh: DI 2AH 1,50 đ Gọi M là trung điểm của DC, E là giao điểm của AM và DI. 1 0,50 đ Ta có DA DM AB và góc ADM = 600 nên tam giác ADM đều. 2 0,50 đ Suy ra DI là đường phân giác nên cũng là đường cao. Do đó, DI  AM tại E. 0,25 đ Vì ADM đều có AH, DE là hai đường cao nên AH DE 3 Vì ADI cân tại A, có AE  DI tại E nên DI 2DE 4 0,25 đ Từ (3) và (4) suy ra DI 2AH . c) Chứng minh: AC  AD . 0,50 đ 1 Xét tam giác ADC có AM là đường trung tuyến và AM DM DC 2 0,50 đ nên D· AC 900 . Vậy, AC  AD . Câu 5. A 3,00 đ E D B C F a) Chứng minh hệ thức: AB2 AE.AF . 1,50 đ Ta có : BD / /FC ( cùng vuông góc với AC ) AD AB 0,50 đ Suy ra (1) AC AF Ta lại có: AB AC và AE AD (2) 0,50 đ AE AB Từ (1) và (2) suy ra , do đó AB2 AE.AF . 0,50 đ AB AF 5
6. CE BE 1,50 đ b) Chứng minh: . CF BF + C/m : BCE CBD ch gn 0,50 đ Suy ra góc BCE = góc DBC + Mặt khác, góc DBC = góc BCF ( Vì BD // FC, slt ) Suy ra góc BCE = góc BCF 0,50 đ Khi đó CB là đường phân giác của ECF . CE BE Suy ra ( đpcm ) 0,50 đ CF BF Câu 6. A B 2,00 đ H K M D C Chứng minh: BM  MD . Gọi K là trung điểm của DH. C/m: MK là đường trung bình của DHC . 1 0,50 đ Suy ra KM / /DC và KM DC 1 2 1 Ta lại có: AB DC và AB // DC (gt) (2) 2 0,50 đ Từ (1) và (2) suy ra AB KM và AB / /KM Do đó, ABMK là hình bình hành, cho ta BM / / AK (3) 0,50 đ Vì MK / / AB và AB  AD(gt) nên MK  AD Trong tam giác ADM có MK  AD và DH  AM nên K là trực tâm 0,50 đ của tam giác ADM, do đó AK  DM (4) Từ (3) và (4) suy ra BM  MD (đpcm) . 6
7. ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8 TỔNG SỐ TRANG (GỒM ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẢN CHẤM) LÀ: 06 TRANG. NGƯỜI RA ĐỀ NGƯỜI THẨM ĐỊNH XÁC NHẬN CỦA XÁC NHẬN CỦA (Họ tên, chữ ký) (Họ tên, chữ ký) HIỆU TRƯỞNG CỤM TRƯỞNG (Họ tên, chữ ký, đóng dấu) (Họ tên. chữ ký, đóng dấu) Nhâm Thị Thu Hà Thị Kim Dinh Phạm Thị Dung 7