Bài giảng Hình học Lớp 7 - Chủ đề: Tam giác vuông. Định lý Py-ta-go

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 7 - Chủ đề: Tam giác vuông. Định lý Py-ta-go

1. Chuyên đề: Tam giác vuông – Định lý Py -Ta - Go
2. Dạng tìm độ dài của 1 cạnh, chứng minh bài toán bằng . cách áp dụng định lý Py – Ta - Go trong tam giác vuông Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. . a) Tính BC biết AB==3, AC 3 b) Tính AC biết BC==6, AB 4 B B 6 3 4 A C A C 3 Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào tam giác ABC vuông tại A ta được: tam giác ABC vuông tại A ta được: 2 2 2 2 2 2 BC2= AB 2 + AC 2 =3 2 + 3 2 = 18 BC= AB + AC AC = BC − AB 22 =BC 18 =6 − 4 = 36 − 16 = 20 =AC 20
3. . Bài 2: Cho ABC vuông cân tại A. Biết BC= 5 cm . Tính AB, AC. B 5 A C Áp dụng định lý Py -Ta - Go vào tam giác ABC vuông tại A ta được: BC2=+ AB 2 AC 2 Mà AB = AC BC2 = AB 2 + AB 2 25 25 522 =AB 2 AB 2 = AB = 22
4. Bài 3: Cho các tam giác với độ dài cho trước dưới đây. Hãy . cho biết tam giác nào là tam giác vuông (vuông tại đâu)? Vì sao? a) ABC có AB=3 cm , AC = 4 cm , BC = 5 cm . Tam giác ABC vuông tại A vì: AB2+= AC 2 BC 2 hay 32+= 4 2 5 2 (Đúng) b) có AB=3 cm , AC = 5 cm , BC = 6 cm . Tam giác ABC không phải tam giác vuông vì: AB2+ AC 2 BC 22 hay 32+ 5 2 6 2 c) có AB=10 cm , AC = 6 cm , BC = 8 cm . Tam giác ABC vuông tại C vì: AC2+= BC 2 AB 2 hay 62+= 8 2 10 2 (Đúng) d) ABC có AB=3 cm , AC = 4 cm , BC = 18 cm . Tam giác ABC không phải tam giác vuông vì: AB2+ AC 2 BC 2 hay( 3)2+ 4 2 ( 18) 2
5. . Bài 4: Cho hình vẽ, biết AE = 4, AC = 5, BC = 9. Tính AB? A Hướng dẫn giải: 4 5 AB  B E C BE 9  Giải: BE = BC - EC;  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AEC EC ta có:  AC2=+ AE 2 EC 2 AC= 5; AE = 4 EC2 = AC 2 − AE 2 =5 2 − 4 2 = 25 − 16 = 9 EC =93 = => BE = BC – EC = 9 – 3 = 6 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AEB ta có: AB2= AE 2 + EB 2 =4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52 =AB 52.
6. Bài 5: Cho hình vẽ, biết AB = 12, BC = 18. Tính AH? A Hướng dẫn giải: AH M B H C N  Giải: Xét AHB và AHC cùng vuông tại H có: BH hoặc HC AB = AC (gt)  AH chung AHB = AHC (ch – cgv) => AHB = AHC (ch – cgv) => HB = HC (2 cạnh tương ứng) BC 18 Ta có HB = HC = ==9 22 Áp dụng định lý Py-ta-go vào vuông AHB ta có: AB2=+ AH 2 HB 2 AH2 = AB 2 − HB 2 =12 2 − 9 2 = 144 − 81 = 63 =AH 63.
7. Bài 6: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15 cm; BH = x cm; CH = y cm; AC = 20 cm. Tính BH, CH? B Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: x cm H BC2= AB 2 + AC 2 =15 2 + 20 2 22 15 cm y cm BC =15 + 20 = 625 = 25( cm ) 11 Ta có: S= AB. AC = .15.20 = 150( cm2 ) ABC 22 A 11 20 cm C Ta lại có: S== AH. BC . AH .25( cm2 ) ABC 22 Hướng dẫn giải: 1 Mặt khác ta có: S=150 cm2 AH .25 = 150 1 1 ABC 2 S= AB. AC ABC S ABC = AH. BC 1 2 2 AH =150 : ( .25) = 12( cm ) 2   Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác AHB BC vuông tại H ta có:  2 2 2 AH AH=− AB HB 2 2 2 2 2  AH = AB − HB =15 − 12 = 225 − 144 = 81 BH và CH AH =81 = 9( cm ) HC= BC − BH =25 − 9 = 16( cm )
8. Bài 7: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 2 cm, HC = 8 cm. Tính AH? B 2 cm Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào H tam giác vuông ABH ta được: 8 cm 2 2 2 ? AB=+ AH BH 2 2 2 A AB = AH + 2 C Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào tam giác vuông ACH ta được: Hướng dẫn giải: AC2=+ AH 2 HC 2 AC2 = AH 2 + 8 2 Áp dụng định lý P-T-G và tam giác Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào vuông ABC. Tìm ra AH tam giác vuông ABC ta được:  BC2=+ AB 2 AC 2 Áp dụng định lý Áp dụng định lý Hay 102= (AH 2 + 2 2 ) + ( AH 2 + 8 2 ) P-T-G vào tam P-T-G vào tam 100 − 68 = 2AH 2 giác vuông AHB, giác vuông AHC, =32 2AH 2 2 2 suy ra được AB suy ra được AC 2 =16 AH Vậy AH = 4 cm   AH = 4 AH AH =−4 (loại)
9. Dạng kể thêm đường phụ, dựng hình để giải bài toán Bài 8: Tam giác ABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = 7. CMR: a) Tam giác ABC vuông b) AMB= 2 C a) Xét tam giác ABC ta có: BC2=+ AB 2 AC 2 B Hướng dẫn giải: 402 = 24 2 + 32 2 40 a) CM: T/G ABC vuông 24 1600 = 576 + 1024 (Đúng)  1 Tam giác ABC vuông tại A A C AD Định lý Py – Ta - Go 7 M 32 b) Xét tam giác ABC ta có: MC= AC– AM = 32 – 7 = 25 b) CM: AMB= 2 C Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào  tam giác vuông ABM ta được: AMB=+ B C (T/C góc ngoài) 2 2 2 2 2 11 BM= AB + AM =24 + 7  BM =2422 + 7 = 625 = 25 BC11=  BM== MC 25 BMC cân tại M BC= CM: BMC cân tại M 11  Mặt khác ta có: AMB=+ B11 C (T/C góc ngoài) CM: BM = MC Mà B11= C() cmt AMB= C11 + C = 2 C (ĐPCM)
10. Bài 8: Cho tg ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy điểm M thuộc AC, H thuộc BC sao cho MH = HB và MH vuông góc với BC. Chứng minh AH là tia phân giác của góc A. Kẻ HI⊥⊥ AB; HK AC A M Ta có: HMK+ C =90  1 2 K HBI+ C =90  I =HMK HBI Xét B C HKM và HIB có: H KI= =90  Hướng dẫn giải: HM= HB() gt AH là tia phân giác của góc A  HMK= HBI() cmt CM: AA12= HKM = HIB() ch − gn  (hai cạnh tương ứng Kẻ HI, HK l2 vuông =HI HK Xét HIA và HKA có: góc với AB, AC. KI= =90   CM: HIA = HAK() ch − cgv HA chung  HI= HK() cmt CM: HI= HA  HIA = HKA() ch − cgv CM: HIB = HKM() ch − gn (hai góc tương ứng)  =AA12 CM: HBI= HMA (cùng phụ với góc C) AH là tia phân giác của góc A
11. Bài 9: Cho hình vẽ, tìm x? Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào tam giác vuông ABH ta được: AB2=+ AH 2 BH 2 2 2 2 2 2 H AH = AB − BH = x − 9 (1) Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào tam giác vuông ACH ta được: AC2=+ AH 2 HC 2 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 Tìm x AH = AC − HC = AC −16 (2) Áp dụng định lý Py – Ta- Go vào  tam giác vuông ABC ta được: AD Định lý AD Định lý BC2=+ AB 2 AC 2 Py – Ta – Go Py – Ta – Go 2 2 2 2 2 vào t/g AHB = vào t/g ACH AC = BC − AB =25 − x (3) suy ra AH2 suy ra AH2 Thay (3) vào (2) AH2 =(25 2 − x 2 ) − 16 2 = 369 − x 2 (4) 22  Cho (4)= (1) xx −81 = 369 − Tìm được HB =2x2 450  2 Kẻ AH vuông góc BC xx =225 = 15 Vậy x =15
12. Bài 10: Cho tam giác ABC có góc BAC = 1350. AB==2, AC 2.Tính độ dài cạnh BC. H A Kẻ AH vuông góc với HC Ta có: C BAC+ HAB =180  HAB =180  − 135  = 45 (1) B Hướng dẫn giải: HBA =180  −(90  + 45  ) = 45 (2) Tìm BC Từ (1), (2) HAB vuông cân tại H  =HB HA AD Định lý AD Định lý Py – Ta – Go vào t/g AHB ta được: Py – Ta – Go vào t/g BHC AB2=+ HA 2 HB 2  2 AD Định lý Py – Ta – Go vào t/g ( 2 ) =HA22 + HA AHB suy ra tính được cạnh HB, HA 22  2 = 2HA HA = 1 HA = 1 = 1 HBA vuông cân tại H HB = HA =1; HC = HA + AC = 1 + 2 = 3  AD Định lý Py – Ta – Go vào t/g HBC ta được: BAC=135  HAB =45 BC2= HC 2 + HB 2 BC 2 =3 2 + 1 2 BC = 10  Kẻ AH vuông góc AC Vậy BC = 10
13. Bài 11: Cho tam giác đều ABC có điểm M nằm trong tam giác thỏa mãn MA2 = MB2 + MC2. Tính BMC A Dựng tam giác BMD đều  CM: BAM = BCD() c − g − c M =AM CD (hai cạnh tương ứng) C 2 2 2 B Do đó: CD=+ MB MC CD2 = MD 2 + MC 2 CDM vuông tại M D BMC = BMD + DMC =60  + 90  = 150  Phải vẽ góc BMC =150
14. Bài 12: Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền = 1/2 cạnh huyền. A Hướng dẫn giải: 2 1 Lấy D đối xứng với A qua M. 1 M  1 B C CM: AM= BC 2 2  1 AM== MD AD(1) 1 2 BC= AD(2) D  CM: △ABC = △DCA(C-G-C) ABC, A = 90   GT AA12+ =90  AB= CD BM= MC AD= DCA =90 11 1 KL AM= BC  DA12 + =90  2 CM: △ABM = △CDM(C-G-C)
15. Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). CMR: a) BH = AK; CM: b) MBH = MAK (c-g-c) BH= AK( CM ( a )) b) MBH = MAK c) MHK vuông cân. MBH= MAK(2) A MB= AM (3) CM (2): MBH = MAK  I H Gọi I là giao điểm của AM và BH ta chứng minh được MBH= MAK MBH+ MIB =90  B C M E  K IAH+ AIH =90  Hướng dẫn giải: MIB= AIH a) CM: BH = AK;   CM: AMB vuông  AM⊥ BC CM: △ABH = △CAK(ch-gn) CM: AMB = AMC() c − c − c  HK= =90  =AMB AMC  AB= AC() gt mà AMB+ AMC =180  1 (cùng phụ với góc BAH) CM (3): Ta có: MB= BC ABH= CAK 2 ABH+ BAH =90  =MB AM 1  AM= BC CAK+ BAH =90  2