Báo cáo Sáng kiến Giải pháp làm tốt một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong môn Toán 7

Nội dung text: Báo cáo Sáng kiến Giải pháp làm tốt một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong môn Toán 7

1. BÁO CÁO SÁNG KIẾN Hiệu quả áp dụng, phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến I. Tên sáng kiến “Giải pháp làm tốt một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong môn toán 7” II/ Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp ở trường THCS . , bản thân tôi nhận thấy như sau : Với các dạng toán tỷ lệ thức – tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng bài tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và chưa đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kích thích sáng tạo của học sinh . Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép . Và đưa ra nhiều bài tập càng khó thì càng tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại, học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thân mình dẫn đến tình trạng chán học. Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép. Mỗi dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư duy toán học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp để giải quyết bài toán một cách thích hợp. Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa. Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức – tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sao cho các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng nhất và phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. So sánh điểm khác biệt giữa giải pháp cũ và giải pháp mới Giải pháp cũ Giải pháp mới - Hệ thống các công thức về tỉ lệ - Phân thành các dạng bài tập cụ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thể phù hợp với các đối tượng học sinh. trước khi thực hiện làm các bài tập 1
2. - Đưa ra các bài tập từ dễ đến khó - Với mỗi dạng đưa ra các ví dụ cho học sinh thực hiện mẫu để học sinh nắm được, sau đó mới - Phân công các bạn học khá giỏi cho học sinh làm các bài tập vận dụng. giúp đỡ bạn yếu kém. - Trong các dạng giới thiệu các - Tổ chức dạy bù đắp kiến thức bài tập từ dễ đến khó tăng khả năng tư cho học sinh theo kế hoạch của nhà duy cho học sinh trường. - Sau khi thực hiện các bài tập mẫu cho học sinh thực hiện các bài tập tương tự để khắc sâu các bước giải - Củng cố cho học sinh các dạng bài tập trong các tiết luyện tập, tiết học buổi hai. III/ Mô tả giải pháp kỹ thuật 1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả học tập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học sinh. Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học, song cũng có bài giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo. TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 1.1. Định nghĩa tỉ lệ thức : a c - Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b d 1.2. Tính chất của tỉ lệ thức: - Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) a c Nếu thì a.d = b.c b d - Tính chất 2 : Nếu ad = bc và a,b,c,d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức : a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a - Như vậy, với a,b,c,d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại : ad = bc a c a d d c d b b d c d b a c a 2
3. Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát nhằm phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh. 1.3.Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c a c a c a c Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra , (b ≠ ± d) b d b d b d b d a c i Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: b d j a c i a c i a c i , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b d j b d j b d j a a a a Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n 2): 1 2 3 ... n thì b1 b2 b3 bn a a a a a a a ... a a a a ... a 1 2 3 ... n 1 2 3 n 1 2 3 n b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 ... bn b1 b2 b3 ... bn (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán. x y z Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: . a b c Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c - Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát nhằm phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh. Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng khi chưa làm sáng kiến Câu 1 : Tìm x,y,z biết : x y z và x + y + z = 150. 2 3 5 Câu 2 : Tìm x,y biết : x y và x . y = 300. 3 4 Câu 3 : Tìm x,y,z biết : x y y z ; và 2x – 3y + z = 6. 3 4 3 5 3
4. Đáp án : Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z x y z 150 15 2 3 5 2 3 5 10 x = 15 x = 2.15 = 30. 2 y = 15 y = 3.15 = 45. 3 z = 15 z = 5.15 = 75. 5 Câu 2 : x y Đặt = k x = 3k ; y = 4k. 3 4 x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300. k2 = 25. k 5 k 5 x 3.5 15 * Với k = 5 y 4.5 20 x 3.( 5) 15 * Với k = -5 y 4.( 5) 20 Câu 3 : x y x y 3 4 9 12 y z y z 3 5 12 20 x y z 9 12 20 Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có : x y z 2x 3y z 6 3 9 12 20 2.9 3.2 20 2 x = 3 x = 9.3 = 27. 9 y = 3 y = 12.3 = 36. 12 z = 3 z = 20.3 = 60. 20 Kết quả thu được như sau : TỔNG Đối tượng 1 Đối tượng 2 Đối tượng 3 SỐ 0 - 4 điểm 5 - 7 điểm 8 - 10 điểm 4
5. Số lượng % Số lượng % Số lượng % 36 15 41,7 17 47,2 4 11,1 Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1. Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2. Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu. 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản , tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây . DẠNG 1 : Tìm x, y, z. Bài toán 1 : Tìm x,y biết : x y a. và x.y = 90. 2 5 x y b. và x.y = 252. 7 9 x y c. và x2 – y2 = 4. 5 3 Giải : a. Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tính chất nào ? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào ? Học sinh thường mắc sai lầm như sau : x y x.y 90 9 2 5 2.5 10 x = 2.9 = 18. y = 5.9 = 45. Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho các em hướng giải toán. Hướng thứ nhất : Dùng phương pháp tình giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống hóa , khái quát hóa về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp. x y x 2k Đặt k 2 5 y 5k Mà xy = 90 2k.5k = 90. 10k2 = 90 2 k 3 k = 9 k 3 * Với k = 3 x = 2.3 = 6. 5
6. y = 5.3 = 15. * Với k = -3 x = 2. (-3) = -6. y = 5.(-3) = -15. Vậy (x;y) = (6;16) hoặc (-6;-15) Hướng thứ hai : Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai. 2 2 x y x y x.y Ta có : 2 5 2 5 2.5 x2 y2 xy 90 9 4 25 10 10 x2 9 x2 36 x 6 4 y2 9 y2 32.52 y 15. 25 x y Vì nên x,y cùng dấu 2 5 Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15) Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn hướng đi cho các em để có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b,c,d. Bài toán 2 : Tìm x,y,z biết : x y y z a. ; và x + y + z = 37. 2 3 5 4 x y y z b. ; và 2x + 3y – z = 186. 3 4 5 7 x y y z c. ; và x + y + z = 92. 2 3 5 7 x y y z d. ; và 2x + 4y – 2z = -4. 3 5 3 8 Giải : a. Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không ? Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng để chọn lời giải cho phù hợp. 6
7. x y x 1 y 1 x y   hay 2 3 2 5 3 5 10 15 y z y 1 z 1 y z Ta có :   hay 5 4 5 3 4 3 15 12 x y z x y z 37 1 10 15 12 10 15 12 37 x = 10.1 = 10. y = 15.1 = 15. z = 12.1 = 12 Vậy x = 10; y = 15; z = 12. b. Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y – z = 186 để giúp các em nhớ lại tính chất của phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích hợp. Ta có : x y x 1 y 1 x y .  hay 3 4 3 5 4 5 15 20 y z y 1 z 1 y z   hay 5 7 5 4 7 4 20 28 x y z 2x 3y z 186 3 15 20 28 2.15 3.20 28 62 x = 15.3 = 45. y = 20.3 = 60. z = 28.3 = 84. Vậy x = 45; y = 60; z = 84. Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp cho phần c và d. Bài toán 3 : Tìm x,y,z biết : a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158. b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60 Giải : Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp. Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau : Ta có : 7
8. x y x 1 y 1 x y 3x 5y   hay 5 3 5 8 3 8 40 24 y z y 1 z 1 y z 5y 8z   hay 8 5 8 3 5 3 24 15 x y z x y z 158 2 40 24 15 40 24 15 79 x = 40.2 = 80. y = 24.2 = 48. z = 15.2 = 30. Vậy x = 80; y = 48; z = 30. Hướng thứ hai : Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau : Ta có BCNN (3,5,8) = 120 1 1 1 Từ 3x = 5y = 8z 3x. 5y. 8z. 120 120 120 x y z x y z 158 Hay 2 40 24 15 40 24 15 79 (Tương tự như trên ta có ...) Vậy x = 80; y = 48; z = 30. Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau : x y z x y z 158 Từ 3x + 5y – 8z 240 1 1 1 1 1 1 79 3 5 8 3 5 8 120 1 x = .240 = 80. 3 y = 1 . 240 = 48. 5 z = 1 . 240 = 30. 8 Vậy x = 80; y = 48; z = 30. Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b. * Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau : + Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y. 8
9. + Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z. 10x = 15y = 21z. x y z 3x 5 y 7z 60 840 1 1 1 1 1 1 15 3. 5. 7. 10 15 21 10 15 21 210 1 x .840 84. 10 1 y .840 56 15 1 z .840 40 21 Vậy x = 84; y = 56; z = 40 Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán này. Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng : x 1 y 2 z 2 a. và x + 2y – z = 12 5 3 2 x 1 y 2 z 3 b. và 2x + 3y – z = 50 2 3 4 Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y – 5z = 10. Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có hướng đi cụ thể. Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau ta có lời giải của bài toán như sau : Ta có : x 1 y 2 z 2 2(y 2) 2y 4 x 1 2y 4 (z 2) 5 3 2 2.3 6 5 6 2 x 2y z 3 12 3 1 9 9 x – 1 = 5 -> x = 6. y – 2 = 3 -> y = 5. z – 2 = 2 -> z = 4 Hướng thứ hai : Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau : x 1 y 2 z 2 Đặt : = k 5 3 2 x – 1 = 5k x = 5k + 1. y – 2 = 3k y = 3k + 2 z – 2 = 2k z = 2k + 2. Ta có : x + 2y – z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) – (2k + 2) = 12 9
10. 9k + 3 = 12 k = 1 Vậy x = 5.1 + 1 = 6. y = 3.1 + 2 = 5. z = 2.1 + 2 = 4 Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự giải phần (b) của bài toán 4. Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng : x y z a) x y z y z 1 x z 1 x y 2 y z 1 x z 2 x y 3 1 b) x y z x y z Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi từ kiến thức nào ? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x + y + z . Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài tóan phần (b) như sau : Giải : b) Điều kiện x,y,z 0. Ta có : y z 1 x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 2(x y z) 2 x y z x y z x y z 1 1 2 x y z 0,5 x y z 2 x + y = 0,5 – z y + z = 0,5 – x. x + z = 0,5 – y. Thay các giá trị vừa tìm của x,y,z vào dãy tỷ số trên, ta có : y z 1 0,5 x 1 2 2 0,5 – x + 1 = 2x x x 1,5 = 3x x = 0,5. x z 2 0,5 y 2 2 2,5 – y = 2y y y 2,5 = 3y 5 y = 6 x y 3 0,5 z 3 2 -2,5 – z = 2z z z -2,5 = 3z. 5 z = - 6 10