Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 8 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 8 (Có lời giải)

1. ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) 4 1 2x 4 Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức P x 1 2  1 x 1 x 1 x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất cả các giá trị của x để giá trị của biểu thức P không âm. c) Cho x > 1, x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a3 + 2b3 = 3c3 + 54d3. Chứng minh rằng: a + 2b + 3c + 5d chia hết cho 6. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 3x = x2y + 2y + 5 c) Đa thức f(x) chia cho x + 1 dư 4, chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x + l)(x2+ 1). Câu 3 (4,0 điểm). x m x 3 a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm duy nhất là số dương. x 1 x m x5 9x2 2011x 3 b) Cho biểu thức A . Tính giá trị của biểu thức A khi x4 5x3 3x2 2016x 2 x 2 1 Câu 4 (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = KA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại E. a) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BEC. b) Gọi F là trung điểm của BE. Chứng minh tam giác BHF đồng dạng với tam giác BEC AH BC c) Tia AF cắt BC tại I. Chứng minh 1 HB IB Câu 5 (2 điểm). Cho các số dương x và y thỏa mãn x + y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 16 45 thức M 2x 3y x y ---Hết---
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm a. (2 điểm) 4 1 2x 4 P x 1 2  1 x 1 x 1 x 1 x 2 2x(x 1) (x 1) 4 x 2 P x 1  0,25 (x 1)(x 1) x 2 2x2 3x 5 x 2 P x 1  0,25 (x 1)(x 1) x 2 (x 1)(2x 5) x 2 P x 1  0,5 (x 1)(x 1) x 2 (x 1)2 2x 5 x 2 x2 4 x 2 (x 2)2 P   0,5 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 (x 2)2 Vậy P với x ±1, x 2. 0,5 x 1 b. (1 điểm) Câu 1 ĐKXĐ: x ±1, x 2 (4 điểm) (x 2)2 Giá trị của biểu thức P không âm, tức là P 0 0 x 1 0,5 x 2 0 x 2 x 1 0 x 1 Ta thấy x = - 2 thỏa mãn ĐKXĐ Với x > 1, kết hợp với ĐKXĐ ta được x > 1, x 2. 0,5 Vậy x = - 2 hoặc x > 1, x 2. c. (1 điểm) ĐKXĐ: x ±1, x 2 (x 2)2 x2 4x 4 (x 1)(x 5) 9 9 0,5 P x 1 6 x 1 x 1 x 1 x 1 Với x > 1, x 2 thì x – 1 > 0, áp dụng bất đảng thức Co-si cho hai số 9 9 dương ta có: (x 1) 2 (x 1)  6 x 1 x 1 0,5 9 (x 1) 6 12. Hay P 12. x 1
3. 9 Dấu “=” xảy ra khi (x 1) (x – 1)2 = 9 x – 1 = ±3 x 1 x = 4 (TMĐK) hoặc x = -2 (Không TMĐK) Vậy với x > 1, x 2 thì GTNN của P bằng 12 khi x = 4 a. (1,5 điểm) Câu 2 3 3 3 4 3 3 3 3 3 (4 điểm) Có a + 2b = 3c + 5 d a + 2b = 3c + 625d a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3 = 3c3 + 625d3 + 3c3 + 5d3 = 6c3 + 630d3 0,5 = 6(c3 +105d3)  6 (Vì c3 + 105d3 là số nguyên với c, d nguyên) Xét a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3 - a - 2b - 3c - 5d = (a3 - a) + 2(b3 - b) + 3(c3 - c) + 5(d3 - d) Có a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1)a(a + 1)  6 Vì a-1, a, a+1 là 3 số nguyên 0,5 liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số đó chia hết cho 6. Hay a3 - a  6 CMTT ta có (b3 - b)  6; (c3 - c)  6; (d3 - d)  6 (a3 - a) + 2(b3 - b) + 3(c3 - c) + 5(d3 - d)  6 0,5 (a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3) - (a + 2b + 3c + 5d)  6 Mà a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3  6 (CMT) nên suy ra (a + 2b + 3c + 5d)  6 b. (1 điểm) x3 + 3x = x2y + 2y + 5 x3 + 3x - 5 = (x2 + 2)y x3 + 3x - 5 y (Vì x2 + 2 2 > 0 với mọi x) x2 + 2 x(x2 + 2) + x - 5 x - 5 y x x2 + 2 x2 + 2 0,5 x - 5 (x + 5)(x - 5) Vì x, y Z nên Z Z (Vì x + 5 Z với x x2 + 2 x2 + 2 x2 - 25 27 27 Z) Hay 1 Z Z x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 Ư(7) (Vì 27 Z, x2 + 2 Z với x Z) Mà x2 + 2 2 với mọi x nên x2 + 2 {3; 9; 27} * x2 + 2 = 3 x2 = 1 x = ±1 1 - Với x = 1, thì y = (Loại) 3 - Với x = - 1, thì y = - 3 (TM) 0,5 * x2 + 2 = 9 x2 = 7, không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn * x2 + 2 = 27 x2 = 25 x = ±5 145 - Với x = - 5, thì y = (Loại) 27 - Với x = 5, thì y = 5 (TM) Vậy x = -1, y = - 3 hoặc x = 5, y = 5.
4. c. (1,5 điểm) Ta có f(x) chia x +1 dư 4. Theo định lí Bê-du ta có f(-l) = 4 Do bậc đa thức chia (x+l)(x2+l) là 3 nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c 0,5 Gọi thương của phép chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) là q(x), ta có: f(x) = (x+l)(x2 +1)q(x) + ax2 + bx+c F(x) = (x+l).(x2 +1)q(x) + ax2 +a - a +bx+c = (x+l) (x2 +1)q(x) + a(x2 +1) - a + bx + c = [(x+l)q(x) + a](x2 +1) + bx + c - a Vì f(x) chia x2 + 1 dư 2x + 3 nên bx + c – a = 2x + 3 đúng với mọi x 0,5 b 2 c a 3 Mặt khác f(-1) = 4 a – b + c = 4 a – 2 + c = 4 a + c = 6 9 3 Từ c – a = 3 và c + a = 6 suy ra c ,a 2 2 0,5 3 9 Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) là x2 2x 2 2 Câu 3 a. (2 điểm) (4 điểm) x m x 3 2 (1). ĐKXĐ: x 1, x m x 1 x m x2 m2 x2 2x 3 2(x 1)(x m) Phương trình (1) 0,5 (x 1)(x m) (x 1)(x m) Suy ra 2x2 - m2 + 2x - 3 = 2x2 - 2mx - 2x + 2m 2(m + 2)x = m(m + 2) (2) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số dương thì phương trình 0,5 (2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn ĐK: x > 0, x 1, x m Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi m + 2 0 m -2. m 1 2 m m Khi đó x . Để giá trị này là nghiệm dương thì m 2 2 0,5 m 0 2 m 2 m 2 m 0 m 2m m 0 m 2 m 0 m 0 Kết hợp với m -2 ta được m > 0, m 2. Vậy với m > 0, m 2 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số dương. 0,5 b. (2 điểm)
5. ĐKXĐ: x4 + 5x3 + 3x2 + 2016x + 2 0 Có x 2 1 > 0 0,5 x4 + 5x3 + 3x2 + 2016x + 2 > 0 khi x 2 1 x 2 1 (TMĐKXĐ) x 1 2 0 (x 1 2)(x 1 2) 0 0,5 x2 + 2x - 1 = 0 x5 9x2 2011x 3 A x4 5x3 3x2 2016x 2 0,75 (x2 2x 1)(x3 2x2 5x 3) 2022x 2022x 2022 (x2 2x 1)(x2 3x 2) 2023x 2023x 2023 2022 Vậy A = khi x 2 1. 0,25 2023 Câu 4 I (6 điểm) K B H F C E A a. 2 điểm Có KE // AH, AH  BC KE  CK o Xét CKE và CAB, có C· KE C· AB 90 ,Cµ chung 1,0 CKE ∽ CAB (g-g) CK CE CA CB 1,0 CKA ∽ CEB (c-g-c) b. 2 điểm AHK vuông cân tại H H· KA 45o C· EB C· KA 45o 1,0 ABE vuông cân tại A
6. BE = AB 2 BHA ∽ BAC ( B· HA B· AC 90o ,Bµ chung) BH BA BA 2 BE BH BE BA BC BC 2 BC 2 BA 2 2.BC BH BE 2.BF BF 1,0 BE 2.BC 2.BC BC BH BF µ BHF ∽ BEC ,Bchung BE BC c. 2 điểm BAE vuông cân tại A có AF là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác của B· AE 1,0 IC AC Xét ABC có AI là phân giác ngoài tại A nên ta có IB AB Có ABC ∽ HBA ( B· AC B· HA 90o ,Bµ chung) AC AH AB BH IC AH IB BC AH BC AH 1,0 1 IB BH IB BH IB BH AH BC 1 BH IB Câu 5 (2 điểm) 16 45 4 9 4 9 M 2x 3y 2 x 3 y 2 x y x y x y Với x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương, ta có: 4 4 4 x 2 x. 4 . Dấu “=” xảy ra khi x x x x x2 = 4 x = 2 (x > 0) 1,0 9 9 9 y 2 y. 6 . Dấu “=” xảy ra khi y y y y y2 = 9 y = 3 (y > 0) 1 1 Có 0 < x + y 5 Dấu “=” xảy ra khi x + y = 5 x y 5
7. a 2 b2 (a b)2 Chứng minh bổ đề với x, y > 0 ta có . Dấu “=” xảy x y x y a b ra khi . Áp dụng bổ đề ta có x y 4 9 22 32 (2 3)2 25 5 x y x y x y 5 x y x y x y 5 1 x 2 Dấu “=” xảy ra khi 2 3 2 3 2 3 5 1,0 y 3 x y 5 x y 5 16 45 4 9 4 9 M 2x 3y 2 x 3 y 2 8 18 10 x y x y x y x 2 (TM) M 36. Dấu “=” xảy ra khi y 3 (TM) Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 36 khi x = 2, y = 3